（1）实际中，多数经济时间序列都是非平稳的.
（2）某些非平稳经济时间序列的某种线性组合可能是平稳 的，即变量存在长期均衡关系。例如，净收入与消费、政府 支出与税收等。
（3）如果若干个I(1)序列的某种线性组合是平稳的，则称具 有协整性。协整概念是理解经济变量存在长期均衡关系的基 础。
10000 8000 6000 4000 2000
DF检验法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。这方法只 适用于AR(1)过程且要求ut同方差性且相互独立。这对序列要求 很严格，许多时间序列难以满足。
yt yt1 ut (t 1,2, , n（) 1） 式中，ut ~ IID(0, 2 ).由B J模型可知， 1, yt为平稳过程； ＝1, yt为随机游走过程，有一个单位根，故yt ~ I (1), 而yt ~ I (0); 1, yt为强非平稳，yt仍为非平稳过程。
二、 单位根检验
平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。 前者使用自相关函数(Autocorrelation function)，后者使用单 位根(Unit roots)。单位根方法是目前最常用的方法。对单位 根的检验就是对随机过程平稳性的检验，也是对随机过程单 整阶数的检验。
1.单位根检验的DF法（只适用于AR(1)）
(a) 对(1)式进行回归，用"ols"法估计参数；
(b)
计算DF统计量，DF
ˆ 1 Se( ˆ )
(c) 设定零假设和备择假设。H 0 : 1, yt非平稳 H1 : 1, yt平稳（左侧假设检验）
(d ) 判断：对于样本，DF 临界值，接受H0，yt为非平稳； DF 临界值，接受H1，yt为平稳。
❖ 协整定义：
设xt=(x1t x2t …xNt)T是N1阶时序向量。 (1)如果xt中的元素都是I(d)的； (2)若存在一个N1阶列向量B(B0),使得BTXt~I(d-b),则 称xt中各分量是d、b阶协整，记为CI(d, b)。这里CI是协整 的符号。构成N个变量的线性组合的系数向量B称为“协整 向量”，其中的元素称为协整参数。协整向量的个数称为Xt 的协整秩。
yt = + yt-1 + ut
yt = + t + yt-1 + ut
也可以把检验式写成如下形式
yt = 0+ yt-1 + ut
(7)
yt = 0+ t + yt-1 + ut
(8)
检验用临界值可查表。
2.增项的单位根检验ADF
DF检验只有当序列为AR（1），且残差为白噪声过程时 才有效。如果序列存在高阶滞后相关，用AR(1)模型描述经济 时间序列是有困难的，且误差项ut常常是序列相关的。在这种 情况下，为使单位根检验更具有实用性，Dickey－Fuller提出 了增项单位根检验方法，称为增项或扩展的Dickey－Fuller检 验，简称ADF检验。
第九章 单位根、协整检验与误 差修正模型
第一节 单整与单位根检验
一、单整性的定义
单整性：对于随机过程{xt}，如果经过d次差分后变成 一个平稳、可逆的ARMA过程，而经过d-1次差分后仍是非 平稳过程，则称此过程具有d阶单整性，记为xt~I(d)。
若xt经过一次差分变为平稳序列，记为xt~I(1)；同理，若 xt经过二次差分变为平稳序列，记为xt~I(2)。
【注意】：
第一，协整向量是不唯一的；第二，最多可能存在k-1 个线性无关的协整向量；第三，协整变量之间具有共同的趋 势成份，在数量上成比例。
【例析】
+bUt1~、I(如1)果；存Q在t =：cWWtt
~ I (1),Vt ~ +ePt ~ I (0)
I。(2则),U：t ~VtI,
(U2t)~且CIP(?t ,=?a) V；t
注意：
1.如果两个变量皆为单整变量，当且仅当它们的单整阶 数相同时，才可能存在协整关系；如果单整阶数不同，则不 可能存在协整关系。
2.当xt中含有N>2个分量时，则有可能存在多个协整向量。 如果存在r(1<rN)个线性独立的协整向量，则这些协整向量 可组成一个Nr阶矩阵B，称B为协整矩阵，B的秩为r。
右图中的两个变量随时间呈相同规模变化，两个变量的 单整阶数相同，它们的线性组合有可能是平稳的，此图直观 地表达了协整概念。
二、协整的概念(Cointegration)
协整概念是20世纪80年代由恩格尔-格兰杰（EngleGranger）提出的。协整理论为在两个或多个非平稳变量 间寻找均衡关系，以及用存在协整关系的变量建立误差 修正模型奠定了理论基础。
ADF检验原理与DF检验相同，只是对模型（9）、 （10）、（11）进行检验时，有各自相应的临界值。
注意：1.选择滞后差分项 yt i个数k的原则是：(1)应尽量小， 从而节省自由度；(2)应尽量大，从而消除误 差项中存在 的自相关。通常采用 AIC准则来确定滞后阶数。 2.当时间序列为AR（p）过程，或者进行 DF检验时发现 存在序列相关，应改用 ADF检验。实际经济时间序 列一 般不会是AR（1）过程，所以ADF检验是常用的检验方法 。 3.此检验方法还应注意数 据生成系统在整个样本 区间内 都应该是稳定的。皮荣 （Perron,1989）指出当一个时间 序列在取值大小或趋势 上受外来因素影响，无 论是在 样本区间的任何时候发 生突变，即使变化前后 的两段 时间内都各自表现出平 稳性，仍会使单位根检 验的功效 大大降低。检验结果很 可能使该序列非平稳。
在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下DF统计量也 是有偏倚的(向下偏倚，呈现围绕小于零值的偏态分布)，所以 DF检验与传统的t检验不同，DF统计量不服从正态分布，也不 服从t分布，Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下统计量 服从的分布，其临界值可查表。
上述 DF 检验还可用另一种形式表达。(1)式两侧同减 yt-1，得
ˆi yt i ut (10)
i 1
k
yt t yt 1 ˆi yt i ut (11) i 1
当AR( p)中，p 1或ut不独立时，使用此方法。
三个模型检验的假设都是：H1: ρ<0,检验H0：ρ=0，即 存在一单位根。实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型 1；何时检验拒绝零假设，何时检验停止。否则，就要继续 检验，直到检验完模型1为止。
40000 30000 20000 10000
0
90
92
94
96
98
00
02
RINCOME
UINCOME
0
90
92
94
96
98
00
02
EX
IM
左图表示1989至2003年我国非农业居民与农业居民的人均 收入水平；右图给出我国年进、出口总额序列。很明显两个图 中四个时间序列都是非平稳的。
左图中rincome与uincome之间随时间变化相距越来越远， 可见两者之间不可能存在均衡关系。
yt yt1 ut ut ~ IID(0, u 2 )（, 2）
E(uiv j ) 0, i, j
（3）
其
中x
t与y
是两个互
t
不
相
关的随机游走过程。vt
和ut
分别服从独立同分布。因为x t和yt互不影响，所以
如下模型
yt 0 1xt wt （4） 中1的估计量ˆ1的分布应该趋于零。但实际上并非
yt = ( -1) yt-1 + ut ,
(4)
令 = - 1，代入上式，
yt = yt-1 + ut ,
(5)
与上述零假设和备择假设相对应，用于模型(5)的零假设和备择假设是
H0： = 0， （ yt 非平稳） H1： < 0， （ yt 平稳）
这种变化并不影响 DF 统计量的值，所以检验规则仍然是 若 DF > 临界值，则 yt 是非平稳的； 若 DF < 临界值，则 yt 是平稳的。
模型(1)的好处是便于理论分析，但对于实际经济 问题来说，模型要求太严格，很难用于描述经济时间 序列，为此提出如下两个模型：
yt yt1 ut (2) yt t yt1 ut (3) 式中y0 0,ut ~ IID(0, 2 ), －位移项，t－趋势项。
单位根的检验方法与步骤：
Wt, Pt~CI(?, ?)
2、什么情况下序列Yt, Xt的线性组合a1Yt+a2Xt是平稳的？ 线解性：组当合Y是t，平X稳t～的CI。(d, d）时，其线性组合属于I(0），进而

且 该E线(性ε3t）、组=已合0知能。Y代试t，表问X长Yt～t 期与I(均1X）t衡协，关整其系吗线吗？性？若组是合则ε协t=Y整t-β向0-量β1是Xt什～么I(0？）， 解：Yt，Xt～CI(1, 1），协整向量是（1, -β0, -β1），能。
若将zt经过d次差分，即d zt d xt d yt 若将zt经过c次差分，即c zt c xt c yt， d zt和c zt过程平稳吗？ 这说明当任何两个随机过程相加时，所得过程的 单整阶数与原被加过程中单整阶数较高的一个过 程的阶数相同，即zt ~ I (max{d, c})。
若干个同阶非平稳过程的线性组合过程的单整阶数低于 原非平稳过程的单整阶数，这说明在该若干个同阶非平稳过 程之间存在协整关系。这种情形在后面讨论。
第二节 协整与误差修正模型
一、虚假回归 当用两个相互独立的非平稳时间序列建立回归模型时， 常常得到一个具有统计显著性的回归函数，称为虚假回归 （格兰杰－纽博尔博Grange-Newbold，1974年提出） 。 例：给定数据生成系统如下：
xt xt1 vt vt ~ IID(0, v2 )（, 1）
如此，以（1）（3）式作为数据生成系统，模拟200