个很小的正数 来代替它
例 设控制系统的特征方程为
s4 2 s2 s2 2 s 1 0
用劳斯判据判断其稳定性
自动控制原理
解 由劳斯阵列
s4 1 1 1 s3 2 2 0 s2 0 1
s1 2 2
s0 1
符号改变一次 符号改变一次
由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致,系统不稳定,并且符号改 变两次,所以有两个正实部特征根
例 设控制系统的特征方程为
D s s4 2 s3 3 s2 4 s 3 0
试用劳斯判据判断其稳定性
解 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排
劳斯阵列
s4 1 3 3
s3 2 4 0
s2 1 1
s1 2
s0 3
自动控制原理
由劳斯阵列第一列可知，其系数出现负值，因此系统不稳定， 并且符号变化两次，所以有两个正实部特征根。
自动控制原理
§5-3 代数稳定判据
一.劳斯判据 1.系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数都不等于零。 (2)特征方程的各项系数都不大于零。 2.系统稳定的充要条件: 设系统稳定的特征方程式为
D s a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 0 5 . 4
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等，根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c,d,e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中,为简化其后的数值计算,可用一个正整数去除 或乘某一个整行,并不影响稳定性结论。劳斯判据还说明：方程式 (5.4)中,其正实部特征根数,等于劳斯阵列中第一列的系数改变的 次数。
自动控制原理
(2)劳斯阵列出现整排零 例 设控制系统的特征方程为
s 6 2 s 5 8 s 4 1 2 s 3 2 0 s 2 1 6 s 1 6 0
试用劳斯判据判断其稳定性 解 计算劳斯阵列如下
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 1 6 8 s3 0 0 0
自动控制原理
式中
p
d dt
，若记
Dpanpnan1pn1 a1pa0
Mpbmpmbm1pm1 b1pb0
并对5.1作拉氏变换，得
X 0s M D s s X is N D ( (s s) )
5 .2
自动控制原理
式中
M D
s s
GБайду номын сангаас
s
为系统的传递函数。
因为是在零初始条件下，有 则
Xi 0
X0
s
N (s) D(s)
自动控制原理 第五章
控制系统的稳定性分析
❖§5-1 系统稳定性的基本概念 ❖§5-2 系统的稳定条件 ❖§5-3 代数稳定判据 ❖§5-4 乃奎斯特判据 ❖§5-5 对数幅相频率特性的稳定判据 ❖§5-6 控制系统的相对稳定性 ❖例题分析 ❖课后习题
自动控制原理
§5-1 系统稳定性的基本概念
如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消 后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否 则这个系统是不稳定的。
2. 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性, 也就是说,是讨论输入为零,系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性, 即讨论自由振荡是收敛还是发散的。
自动控制原理
§5-2 系统的稳定条件
设定常线性系统的微分方程为：
a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 x 0 t b m p m b 1 p b 0 x i t 5 . 1
自动控制原理
控制系统稳定性的定义： 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随
着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能， 则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。
注意： 1. 稳定性是系统自身的固有特性,它取决于系统本身的结构和
参数,而与输入无关；对于纯线性系统来说，系统的稳定与否不与初 始偏差的大小有关。如果，这个系统是稳定的，就叫做大范围稳定。 而经过线性化处理的系统都是“小偏差”稳定。
s3 0 0 0
4 12
s2 3 8
s1 4 /3
s0 8
自动控制原理
x 0t L 1 [X 0s] L 1 N D s s i n 1A ie sit
拉氏反变换，有
5 .3
Resi 0
由上式可知，若系统所有特征根的实部均为负值，即
自动控制原理
这样的系统就是稳定的。
ltim x0 t 0
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入将随时 间的推移发散，即
3.二阶，三阶和四阶系统的劳斯判据
低阶系统的劳斯判据可以化简
(1)二阶系统, a00a10a20 (2)三阶系统,各项系数大于零, a1a2 a0a3 (3)四阶系统,各项系数大于零, a1a2 a0a3 , 4.特殊情况
a1a2a3a0a32a12a40
(1)如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零,可以用一
在此情况下,可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式,并利用这个 多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行。利用辅助多 项式够成的辅助方程，解出特征根。
由此可得到辅助多项式
Ass46s28
dA(s) 4s3 12s ds s 6 1 8 2 0 1 6
由此可得到劳斯阵列
s5 2 12 16 0 s4 1 6 8
劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列所有项 均为正号。 劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列，即为劳斯阵列：
自动控制原理
sn a0 a2 a4 a6
s n1 a1 a 3 a 5 a 7
s n2 b1 b2 b3
b4
s n3 c1 c2 c3
c4
s 2 e1 e2 s1 f1 s0 g
ltim x0 t
这样的系统是不稳定的。
自动控制原理
由此可得以下结论： 1.控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部
具有负实部。系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳 定的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部，或说闭 环传递函数的极点全部在[S]平面的左半面。
2.如特征根相同上述结论仍成立。 3.判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部。