( )()( )(3 i1 71 49) .绝密★启用前2019 年全国 1 卷普通高等学校招生全国统一考试文科数学（答案及解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

从 2020 年起，参加本科院校招生录取的考生的总成绩由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，其中选考科目每门满分 100 分，即高校招生录取总分满分值为 750 分。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设 z = 3 - i1 + 2iA ．2 ，则 z = （ ）B ． 3C ． 2D ．1【答案】C3 i 1 2i【解析】 z ===i ，所以 z =+ = 2.故答案选C 1 +2i1 + 2i 1 2i5 525 252．已知集合U = {1,2,3,4,5,6,7 }，A = {2,3,4,5}，B = {2,3,6,7 }，则 B C A =U（ ）A ． {1,6}B ． {1,7}C ． {6,7}D ． {1,6,7}【答案】C【解析】 C A ={1,6,7}，所以 B C A ={6,7}U U3．已知 a = log 0.2, b = 20.2 , c = 0.20.3 ，则（）2A ． a < b < cB ． a < c < bC ． c < a < b1D ． b < c < a【答案】B【解析】∩a=log0.2<log1=0，b=20.2>20=1，c=0.20.3<0.20=1，c>022a<c<b4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1（5-122≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】设脖子下端至肚脐长度为x，由题意得，2651=0.618，x=x2260.618，可估算40<x<50，则维纳斯身高26+40+105<h<26+50+105，故选B.5．函数f(x)=sin x+xcos x+x2在[—π，π]的图像大致为（）A．B．2( ) ()( )=b 则 3C ．2π3D ． 5πC ．D ．【答案】D【解析】由题意得， f - x = - f x ，故为奇函数，排除A ，又因为 f p =sin p + p cos p + p 2 = p p 2 -1> 0，故选D.6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）A ．8 号学生B ．200 号学生C ．616 号学生D ．815 号学生【答案】C【解析】由题意得，每10人1组，每组抽1名，共100组，抽100名，第1组为1，2，…，10，第2组为11，12，…，20，以此类推，因为46号被抽到，故每组第6名学生被抽到，观察选项，C 选项满足题意，故选C.7．tan255° （）A ．－2－ 3【答案】D【解析】B ．－2+ 3C ．2－ 3D ．2+ 38．已知非零向量 a ， 满足 a = 2 b ，且（a –b ） b ， a 与 b 的夹角为 （ ）A ．π6B ．π6【答案】B【解析】3∴a b cosθ-b=0∴c osθ=即θ=a2+A B．A=2+A C．A=122+a2-A．2sin40°B．2cos40°C．1(-b)⊥b()∴a-b⋅b=0∴a⋅b-b⋅b=021π2319．如图是求2+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A=1【答案】A【解析】11+2A D．A=1+12A将A选项的运算公式代入程序框图，当K=1时，A=12+即答案为A.1，当K=2时，A=112+1210．双曲线C:x2y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）1sin50︒D．cos50︒【答案】D4B C b c2 2 B【解析】b由题可知 = tan 50 ，即a答案为 Db 2 sin 2 50c 2 - a 2 sin 2 50 1 = = = e 2 - 1∴ e 2 = 1 + = a 2 cos 2 50 a 2 cos 2 50 cos 2 5011. △ABC 的内角 A ， ， 的对边分别为 a ，，，已知 asinA －b sinB =4csinC ，cosA =－A ．6B ．5C ．4D ．31 4 ，则 b c =（ ）【答案】A【解析】由题可知a 2 -b 2= 4c 2， cos A = b 2 + c 2 - a 2 = - 3c 2 = - 3c = - 1 ，2bc 2bc 2b 4即答案为 A.12．已知椭圆 C 的焦点为 F 1( - 1,0)，F 2(1,0) ，过 F 2 的直线与 C 交于 A ，B 两点.若│AF │= │F 2 │，│AB │=│BF │，则 C 的方程为（ ）1x 2A ． + y 2 = 12x 2 y 2B ． + = 13 2 x 2 y 2C ． + = 14 3 x 2 y 2D ． + = 15 4【答案】B【解析】当直线斜率不存在时，即 F A = 2BF = AB = BF 即 ∆ABF 为等边三角形，由几何关系知1 211AF + AF = 2 3 = 2a 即其标准为方程为 B.12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线 y = 3(x 2 + x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为___________．【答案】 y = 3x【解析】y' = 3( x 2 + 3x + 1)e x ，切点横坐标带入导数的斜率为 3，点斜式得切线 y = 3x14．记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1 = 1，S 3 = 5【答案】83 45，则 S 4=___________．=1 + q + q 2 ，解得 q = - ，S 4= ，所有答案 .【解析】设等比数列的公比为 q ，又 a = 1,S = 1 3 3 1 5 5 4 2 8 83π 15．函数 f ( x ) = sin(2 x + ) - 3cos x 的最小值为___________．2【答案】−4【解析】 化简得 f ( x ) = -2 cos 2 x - 3cos x + 1, 由二次函数对称轴得，当cos x = - 34时取最大值，当cos x = 1 时取得最小值-4.所以答案为-4.16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC =2，点 P 到∠ACB 两边 AC ，BC 的距离均为 3 ，那么 P到平面 ABC 的距离为___________．【答案】 2【解析】点 P 在平面 ABC 上的投影 D 在∠ACB 的角平分线上，且 PD 就是点 P 到平面 ABC 的距离，过点P 向 BC 作垂线，垂足为 E ，在 △RTPCD 和 △RT PDC 中利用勾股定理求得 PD= 2 .三、解答题17．三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60 分。

17．（本小题 12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：男顾客女顾客满意4030 不满意1020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n (ad - bc)2附： K 2 = ．(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )P （K 2≥k ）k 0.0503.841 0.0106.6350.00110.8286（2）由（1）得 a = -4d ，故 a = (n - 5)d , S = A【答案】(1)男、女顾客对该商场服务满意的概率分别为 0.8、0.6；(2)有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异40【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为50满意的概率的估计值为0.8．= 0.8 ，因此男顾客对该商场服务女顾客中对该商场服务满意的比率为30 50= 0.6 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6．（2） K 2 =100 ⨯ (40 ⨯ 20 - 30 ⨯10)2 50 ⨯ 50 ⨯ 70 ⨯ 30≈ 4.762 ．由于 4.762 > 3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．（本小题 12 分）记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 9=－a 5．（1）若 a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若 a 1>0，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围．【答案】(1) a = 10 - 2n ；(2)1 ≤ n ≤ 10n【解析】（1）设{an}的公差为d ．由 S = -a 得 a + 4d = 0 ． 9 51由a 3=4得 a 1 + 2d = 4 ．于是 a = 8, d = -2 ．1因此 {a n }的通项公式为 a n= 10 - 2n ．1 n n n (n - 9)d2.由 a > 0 知 d < 0 ，故 S …a 等价于 n 2 - 11n + 10… 0 ，解得1≤n ≤10． 1nn所以n 的取值范围是{n |1剟n 10, n ∈ N } ．19.（本小题 12 分）如图，直四棱柱 ABCD – 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是 BC ，BB 1，A 1D 的中点.7= ==（1）证明：MN ∥平面 C 1DE ；（2）求点 C 到平面 C 1DE 的距离．【答案】(1)证明过程详见解析；(2) 4 1717【解析】（1）连结 B C, ME .1因为M ，E 分别为 BB , BC 的中点，1所以 ME ∥ B C ，且 ME =11B C . 2 1又因为N 为 A D 的中点，1所以 ND = 1A D .2 1由题设知 A B ∥ DC ，可得 BC ∥ A D ，1 11 1故 ME ∥ ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形， MN ∥ED .又 MN ⊄ 平面 C DE ，1所以MN ∥平面 C DE .1（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H.由已知可得 DE ⊥ BC ， DE ⊥ C C ，1所以DE ⊥平面 C CE ，1故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面 C DE ，1故CH 的长即为C 到平面 C DE 的距离， 1由已知可得CE =1，C 1C =4，8从而点C 到平面 C DE 的距离为 当 x ∈, π ⎪ 时， g '( x) < 0 ， 所以 g ( x) 在 (0, ) 单调递增，在 π , π ⎪ 单调递减.又 g (0) = 0, g ⎪ > 0, g (π) = -2 ，0]所以 C E = 17 ，故 CH = 4 171 17.1 4 17 17.20．（本小题 12 分）已知函数 f （x ）=2sinx －xcosx －x ，f′（x ）为 f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】(1)证明过程详见解析；(2)（-∞，【解析】（1）设 g ( x ) = f '( x ) ，则 g ( x ) = cos x + x sin x - 1, g '( x ) = x cos x .π当 x ∈ (0, ) 时， g '( x ) > 0 ；2⎛ π ⎫ ⎝ 2⎭⎛ π ⎫ 2 ⎝ 2 ⎭⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭故 g ( x ) 在 (0, π ) 存在唯一零点.所以 f '( x ) 在 (0, π ) 存在唯一零点.（2）由题设知 f (π)…a π, f (π) = 0 ，可得a ≤0.9由（1）知，f'(x)在(0,π)只有一个零点，设为x，且当x∈(0,x)时，f'(x)>0；00当x∈(x,π)时，f'(x)<0，0所以f(x)在(0,x)单调递增，在(x,π)单调递减.又f(0)=0,f(π)=0，所以，当x∈[0,π]时，f(x)…0.又当a…0,x∈[0,π]时，ax≤0，故f(x) (x)因此，a的取值范围是(-∞,0].21.（本小题12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=A，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．【答案】(1)r=2或r=6；(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|-|MP|为定值.【解析】（1）因为M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y=x上，可设M(a,a).因为所以M与直线x+2=0相切，M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2，又MO⊥AO，故可得2a2+4=(a+2)2，解得a=0或a=4.10x = ， ⎪ y = ⎩ 1 + t ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 + t 2 ⎭ (1 + t 2 )2 = 1 ，≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪故 M 的半径 r =2 或 r =6 .（2）存在定点 P(1,0) ，使得 | MA | - | MP | 为定值.理由如下：设 M (x, y) ，由已知得M 的半径为 r =|x +2|,| A O|=2 .由于 MO ⊥ AO ，故可得 x 2 + y 2 + 4 = ( x + 2)2 ，化简得M 的轨迹方程为 y 2 = 4 x .因为曲线 C : y 2 = 4 x以点 P(1,0) 为焦点，以直线 x = -1 为准线的抛物线，|MP |=x +1 .因为 |MA |-|MP |=r -|MP |=x +2 - (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点P .（二）选考题：共 10 分。