2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
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? 主要内容：
? 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基 本问题
? 重点和难点：
? 曲线和方程的概念
？
曲线和方程之间有 什么对应关系Байду номын сангаас？
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1.研究直线和圆的基本方法是什么？ 这种方法的思路是怎样的？
坐标法；借助坐标系，把点与坐标、曲线与方 程联系起来，再通过方程研究曲线的几何性质.
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分析特例归纳定义2
y
以原点为圆心，5为半径的圆 曲线
O
x
到原点的距离等于5
条件
满足关系：
x2+y2=25
方程
（1）、如果M (x0 , y0 )是圆上的点，那么 M (x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
（2）、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解，那么以它为坐标
0x
（1） l 上点的坐标都是方程 x-y=0的解
（2）以方程 x-y=0 的解为坐标的点都
在 l上
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直线l与方程y=x的关系：
（1）l上任意一点 M(x 0,y0)的坐标都是方程 y=x 的解； （2）以方程 y=x的解(x0,y0)为坐标的点都在 l上. 即：直线 l上的点与方程 y=x的解之间是 一一对应 的.
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判断正误
已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C上 （1）若点M(x,y) 的坐标是方程 F(x,y)=0 的解，则点 M在
曲线上。× × （2）曲线C上的点的坐标都满足方程 F(x,y)=0 。 × （3）凡是坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C上。
（4）不在曲线 C上的点的坐标不一定不满足方程
? ? ? ? 可以变形为 (1 ? ) x2 ? (1 ? ) y 2 ? (6 ? 4 ) x ? 16 ? 5 ? 0
因为 ? ? ?1, 得
(x ?
3? 1?
2? ?
)
2
?
y2
?
9?2 ? 9? ? (1 ? ?)2
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①
因为方程①中等号右端大于0，所以它是一个圆 的方程. 两圆交点的坐标满足两已知圆的方程，当然 也满足方程①，因此方程①表示的圆通过两圆的交点 .
2.直线的方程与方程的直线
(1)以一个方程的解为坐标的点都在这条直线上； (2)这条直线上所有点的坐标都是这个方程的解.
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分析特例归纳定义1
求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满 足的关系
l ? ? 第一、三象限角平分线
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
y l x-y=0 得出关系：
的点一定在圆上。
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分析特例归纳定义
曲线的方程，方程的曲线
给定曲线 C与二元方程 F(x，y)=0，若满足 （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程 F(x，y)=0叫做这条曲线 C的方程，
这条曲线 C叫做这个方程的曲线
y
F(x,y)=0
0
x
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说明
1. 概念是判断曲线的方程与方程的曲线的依据， 在概念 中①②两个关系必须同时成立，缺一不 可.
即曲线上的点与方程的解是一一对应的 .
2. 如果曲线 C的方程是 F(x,y)=0, 则
M(x0,y0) ∈C
F(x 0,y0)=0.
? ? 曲线C用集合的特征判断性是质否描述法，可以
描述为 C ? M ( x,在y)曲F线( x上, y) ? 0
√ F(x,y)=0 。
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学习例题巩固定义
判断下列结论的正误并说明理由
对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 对（2）到两坐标轴距离乘积等于 1的点的轨迹方程为|xy|=1 错（3）已知定点A(-1,0),B(1,0)使∠AMB为指教的点M的轨迹方程 是x2+y2=1
例2 判断下列各方程是对应曲线的方程吗？若不是，请 说明理由。
? 求证：对任意不等于-1的实数 ，方程
? x2 ? y2 ? 6x ? 16 ? ( x2 ? y2 ? 4x ? 5) ? 0
是通过两个已知圆交点的圆的方程。
分析思路： （1）证明表示一个圆；（——复习学过的圆的表示形式） （2）证明此圆过两个圆的交点。
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学习例题巩固定义
证明：方程
? x2 ? y2 ? 6x ? 16 ? (x2 ? y2 ? 4x ? 5) ? 0
的依据
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明察秋毫
如果曲线 C上的点坐标 (x,y)都是方程 F(x,y)=0 的解，
那么（D ）
A、以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C上。 B、以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线 C上的点的坐标都不是方程 F(x,y)=0 的解。 D、坐标不满足 F(x,y)=0 的点不在曲线 C上。
（1）曲线：到两条坐标轴距离相等的点的轨迹；
× 方程： |x|-y=0.
（2）曲线：等腰三角形 ABC的底边BC的中线；
方程：x=0. × 15
横纵坐标相等 的点的轨迹
到两坐标轴距 离相等的点的 轨迹
第一、二象限 的角平分线
|y|=|x| y=|x| y=x
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学习例题巩固定义
例3 已知两圆
C1 : x2 ? y2 ? 6x ? 16 ? 0, C2 : x2 ? y2 ? 4x ? 5 ? 0,
思考
（1）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
过点A(2,0) 平行于y轴的直线l的方程是︱x︱=2吗？为什么？
①、直线上的点的坐标都满足方程︱ x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y 到y轴距离等于2的点的轨迹方程是x=2 吗？ （2）已知曲线C的方程为y=x2-2x+A4,问点A(3,1), B(2,4), C(1,3) 是否在曲线C上？如何判断0 ？ 2 x
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思考与讨论
上题中，若 ? ? 1 ，那么得到的方程还是圆吗？
若不是，这个方程表示什么图形，与两个已知圆有 什么关系？
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? 曲线与方程的概念及其简单应用； ? 数形结合的思想方法； ? 由特殊到一般的归纳方法.
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