北师版七年级数学单元讲解和提高练习知识全面设计合理含答案教师必备整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）．()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++342222(4)(2)x y x y ÷2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】解：（1）． （2）． （3）．（4）．2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷-2()()x y x y x y =-÷-=-2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+3153a b ab ÷532253x y z x y -÷2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63(1010)(210)⨯÷⨯33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯2、（2015春•泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒） 【答案与解析】 解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．类型二、多项式除以单项式3、计算（1） ；（2）.【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算． 【答案与解析】解：（1）（2）【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．4、计算：（1）； （2）； （3）；254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()32271833x x x x -+÷-254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭54325242323211224111124424482x x x x x x x x x x x x x⎛⎫=++÷ ⎪⎝⎭=÷+÷+÷=++()()32271833x x x x -+÷-()()()32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-324(67)x y x y xy -÷42(342)(2)x x x x -+-÷-22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-（4）． 【答案与解析】解：（1）． （2）． （3）（4）．【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：【高清课堂399108 整式的除法 例5】 【变式1】计算：（1）； （2）． 【答案】解： （1）原式 ．232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-（2）原式． 【变式2】（2015春•滕州市校级月考）计算：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ． 解：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a ，=（9a 2+6ab+b 2﹣b 2）÷3a ，=（9a 2+6ab ）÷3a ， =3a+2b整式的除法（提高）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、先化简，再求值．，其中，，．【答案与解析】2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++455232334745525774183682x y z xy z x y z x y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷---÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1x =-2y =-3z =解：原式 ． 当，，时，． 【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．2、观察下列单项式：，－2，4，－8，16，…（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（－2）÷＝－2；4÷（－2）＝－2；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第个单项式为；（2）并用此公式可写出第10个单项式的结果．【答案与解析】 解：（1）－2，；（2）第个单项式为，则第10个为－512．【总结升华】本题考查学生的观察分析能力，根据系数、的指数的变化得出规律是解题的关键．类型二、多项式除以单项式3、计算： （1）； 4152513233141745535774182682x y z x y z x y z y z ---++⎛⎫⎛⎫=-⨯÷---⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33432345745557712622x y z x y z x y z y z ⎛⎫=-÷-+÷ ⎪⎝⎭3332434547556125x y z x y z -----=⨯+042421122x yz x yz yz x yz =+=+1x =-2y =-3z =424211(2)3(1)(2)33182122yz x yz +=⨯-⨯+-⨯-⨯=--=-x 2x 3x 4x 5x n 2x x x 3x 2x x n ()12n n x --⋅x ()12n n x --⋅n ()12n n x --⋅10x x 23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦（2）；（3）．【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算． 【答案与解析】 解：（1）原式 ．（2）原式． （3）原式．【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题． 举一反三：【变式1】先化简，再求值．（1），其中，； （2）已知，求的值． 【答案】解：（1）原式．当，时，原式． 2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b +-++--÷+()a b +223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷2(58)6x xy x =-÷5463x y =-5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b =+-+-+÷+5343332()2()3()2()()2()a b a b a b a b a b a b =+÷+-+÷+-+÷+231()()22a b a b =+-+-22224[(2)()()5]2x y x y x y y y +-+--÷2x =-14y =210x y -=222[()()2()]4x y x y y x y y +--+-÷224244[44()5]2x xy y x y y y =++---÷224244(445)2x xy y x y y y =++-+-÷2422xy y xy =÷=2x =-14y =12(2)14=⨯-⨯=-（2）原式． 由已知，得，即． 【变式2】（2014秋•梁平县校级期中）计算：[（﹣2a 2b 3）2﹣（3ab 2）3]÷（﹣a 2b 3）． 【答案】解：原式=（4a 4b 6﹣27a 3b 6）÷（﹣a 2b 3）=﹣6a 2b 3+ab 3．4、已知一个多项式除以多项式所得的商式是，余式是，求这个多项式．【答案与解析】解： 所求的多项式为．【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余式，应牢记这一关系式． 举一反三：【变式】（2015春•淮北期末）已知一个三角形的面积为3x 2﹣6xy+9x ，其中一条边上的高是6x ，则这条边的长是 ． 【答案】x ﹣2y+3．解：因为一个三角形的面积为3x 2﹣6xy+9x ，其中一条边上的高是6x ， 可得：2（3x 2﹣6xy+9x ）÷6x=x ﹣2y+3， 故答案为：x ﹣2y+3．【巩固练习】一.选择题1. 下列计算结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 的结果是 ( ) A.B.C.D.22222(222)4x y x xy y xy y y =+-+-+-÷2(42)4xy y y =-÷12x y =-210x y -=152x y -=152x y -=243a a +-21a +28a +2322(43)(21)282864328a a a a a a a a a a +-+++=+-++-++32295a a =++2334222x y xy x y -⋅=-222352x y xy x y -=-4232874x y x y xy ÷=()()2323294a a a ---=-423287a b a b ÷24ab 44a b 224a b 4ab3.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ） A ．（a 3﹣a ）÷a=a 2 B ．（a 3）2=a 5C ．a 3+a 2=a 5D ．a 3÷a 3=14. 如果□×＝，则□内应填的代数式是（ ） A. B. C. D.5．下列计算正确的是( )． A.÷ ＝0B.C. D. 6. 太阳的质量约为2.1×，地球的质量约为6×，则太阳的质量约是地球质量的（ ）A.3.5×倍B.2.9×倍C.3.5×倍D.2.9×倍 二.填空题7. 计算：＝_______.8. •（______）＝． 9. 计算.10．直接写出结果：(1)＝_______；(2)＝_______；(3)＝_______； (4)÷＝_______；(5)＝_______；(6)＝_______．11．（2015春•成都校级月考）（﹣a 6b 7）÷= ．12．学校图书馆藏书约3.6×册，学校现有师生约1.8×人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅______册图书. 三.解答题13.（2014秋•陇西县期末）（1）计算：（）2÷（﹣）2（2）计算：（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）．14. 先化简，再求值：，其中＝－5． 3ab 23a b ab 3ab a 3a ()13n n xy z +-()13n n x y z +-()()221510532x y xyxy x y -÷-=-x xy xy y x 216)63(2=÷-231123931)3(x x x x xn n n +=÷+-++2710t 2110t 610510510610-()()22963a b abab -÷2xy 26x yz -()()34432322396332x yx y x y x y x y xy -+÷=-+-()()35aa -÷-()24a a -÷-1042x x x ÷÷10n 210n -()3mm aa ÷()()21nn y x x y --÷-410310()()()23242622532a a aa a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦a15．天文学上常用太阳和地球的平均距离1.4960×千米作为一个天文单位，已知月亮和地球的平均距离约为384401千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到0.0001)【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】A 、，所以A 选项错误；B 、两个整式不是同类项，不能合并，所以B 选项错误；D 、，所以，D 选项错误.2. 【答案】D ；3. 【答案】D ； 【解析】解：A 、（a 3﹣a ）÷a=a 2﹣1，错误；B 、（a 3）2=a 6，错误；C 、a 3与a 2表示同类项，不能合并，错误；D 、a 3÷a 3=1，正确； 故选D ．4. 【答案】C ；5. 【答案】D ； 【解析】÷ ＝1；；. 6. 【答案】C ；【解析】（2.1×）÷（6×）＝0.35×＝3.5×. 二.填空题7. 【答案】； 8. 【答案】；【解析】÷＝.9. 【答案】；10. 【答案】(1)；(2)－；(3)；(4)100；(5) ；(6) ；【解析】（6）.11．【答案】﹣3a 2b 5；8102334224x y xy x y -⋅=-()()2323294a a a ---=-+()13n n xy z +-()13n n x y z +-()()221510532x y xy xy x y -÷-=-+21(36)612x y xy xy x -÷=-2710211061051032a b -3xz -26x yz -2xy 3xz -23xy -2a 2a 4x 2ma ()1n x y +-()()()()21211nn n n n y x x y x y x y --++-÷-=-=-【解析】解：（﹣a 6b 7）÷=，故答案为：﹣3a 2b 5.12．【答案】20册；【解析】3.6×÷（1.8×）＝20.三.解答题13.【解析】解：（1）（）2÷（﹣）2 =×=；（2）（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）=﹣3x 3y 3+2x 2y 4+xy 5.14. 【解析】解：原式＝＝＝当＝－5时，原式＝－25.15.【解析】 解：由题意得：384401÷1.4960×≈0.0026（个天文单位）答：月亮和地球的平均距离约为0.0026个天文单位.【巩固练习2】一.选择题1.（2015•广元）下列运算正确的是（ ）A ．（﹣ab 2）3÷（ab 2）2=﹣ab 2B ．3a+2a=5a 2C ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2D ．（2a+b ）2=4a 2+b 2 2．若()()213m n y x x y xy +÷=，则,m n 值是( )． A.m ＝n ＝1B.m ＝n ＝ 2 410310()61264594a a aa -÷÷6444a a -÷2a -a 810C.m ＝1，n ＝2D.m ＝2，n ＝1 3．)21(43224yz x z y x -÷-的结果是( )． A.8xyzB.－8xyzC.2xyzD.822xy z 4．下列计算中错误的是( )A.()2532242a b c a bcab ÷-= B.()()2322243216a b a b a ab -÷-= C.214)21(4222-=÷-⋅y x y y x D.3658410221)()(a a a a a a =÷÷÷÷ 5. 已知537x y 与一个多项式之积是736555289821x y x y x y +-，则这个多项式是( )A. 2243x y- B.2243x y xy - C.2224314x y xy -+D.223437x y xy -+ 6. 计算()238x x +除以3x 后，得商式和余式分别为（ ）A ．商式为3，余式为28x B ．商式为3，余式为8 C ．商式为3x ＋8，余式为28xD ．商式为3x ＋8，余式为0 二.填空题7.（2015•宝应县校级模拟）计算：（21x 4y 3﹣35x 3y 2+7x 2y 2）÷（﹣7x 2y ）=______________.8. 一个长方形的面积是（29x -）平方米，其长为（3x +）米，用含有x 的整式表示它的宽为_______米.9. (1)已知10m ＝3，10n ＝2，210m n -__________． (2)已知23m ＝6，9n ＝8，643m n -___________．10. 已知A 是关于x 的四次多项式，且A ÷x ＝B ，那么B 是关于x 的_______次多项式．11. 若M ()()3322a b a b -=-，那么整式M ＝____________． 12．若2x ＝3，2y ＝6，2z＝12，x ，y ，z 之间的数量关系是________．三.解答题13．先化简，再求值： ()()()()32322524a b a b a b a b a +--+-÷⎡⎤⎣⎦，其中a ＝2，b ＝－3．14．（2014春•北京校级月考）（﹣4a 3﹣7a 3b 2+12a 2b ）÷（﹣2a ）2．15. 是否存在常数p 、q 使得42x px q ++能被522++x x 整除？如果存在，求出p 、q的值，否则请说明理由.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A ；【解析】解：A 、（﹣ab 2）3÷（ab 2）2=﹣a （3﹣2）b （6﹣4）=﹣ab 2，故本选项正确；B 、3a+2a=（3+2）a=5a ，故本选项错误；C 、（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2﹣b 2，故本选项正确；D 、（2a+b ）2=4a 2+4ab+b 2，故本选项错误；故选：A ．2. 【答案】A ； 【解析】()()21213m n m n y x x y y x xy ++÷==，所以213m +=，1m =，n ＝1. 3. 【答案】A ； 【解析】()4223432121114()4822x y z x yz x y z xyz ---⎛⎫-÷-=-÷-= ⎪⎝⎭. 4. 【答案】D ；【解析】10485631()()22a a a a a a -÷÷÷÷=. 5. 【答案】C ；【解析】这个多项式为()7365555322228982174314x y x y x yx y x y xy +-÷=-+. 6. 【答案】A ；【解析】3x ×商式＋余式＝()238xx +. 二.填空题7. 【答案】﹣3x 2y 2+5xy ﹣y ；【解析】解：原式=21x 4y 3÷（﹣7x 2y ）﹣35x 3y 2÷（﹣7x 2y ）+7x 2y 2÷（﹣7x 2y ）=﹣3x 2y 2+5xy ﹣y ．8. 【答案】（3x -）；【解析】根据长方形的宽＝面积÷长，再利用整式的除法求解即可．9. 【答案】(1)29；(2)827； 【解析】()2291010102m n m n-=÷=；()()332642262733988m n m n -=÷==. 10.【答案】三；11.【答案】()3a b +；【解析】M ＝()()()33322a b a b a b -÷-=+.12．【答案】2y x z =+；【解析】()222236222312y y x z x z +===⨯==⨯，所以2y x z =+. 三.解答题13.【解析】解：原式＝()222294521044a b a ab ab b a ⎡⎤---+-÷⎣⎦＝()2484a ab a -÷＝2a b -当a ＝2，b ＝－3时，原式＝()2238-⨯-=.14.【解析】解：（﹣4a 3﹣7a 3b 2+12a 2b ）÷（﹣2a ）2=（﹣4a 3﹣7a 3b 2+12a 2b ）÷4a 2=﹣a ﹣ab 2+3b ．15. 【解析】解：设2242()(25)x mx n x x x px q ++++=++43242(2)(25)(25)5x m x n m x n m x n x px q ++++++++=++ 由等式左右两边对应系数相等可得： 20m +=, 25n m p ++=, 250n m +=, 5n q =解得：6p =，25q =所以p 、q 是存在的.。