１０
二 股市走势预测的马尔科夫过程模型
１ 数学模型 通过对股市指数的统计分析 将股指划分为若干区 间 即状态空间 例如 对深圳股市和上海股市可将 状态空间分别划分为 深圳股市 上海股市 区间１ ２００点以下 区间１ ５００点以下 区间２ ２００点至４００点之间 区间２ ５００点至８００点之间 区间３ ４００点至６００点之间 区间３ ８００点至１１００点之间
ｊ Ｅ 满足
Ｐ ｛ Ｘ （ ｎ ｍ＋ ｋ ） ＝ ｊ │Ｘ （ ｎ １） ＝ ｉ １ ， Ｘ （ ｎ ２） ＝ ｉ ２， Ｘ（ｎｍ）＝ｉｍ｝＝Ｐ｛Ｘ（ｎｍ＋ｋ）＝ｊ│Ｘ（ｎｍ）＝ｉｍ｝ （１）
则称随机序列｛ Ｘ （ ｎ ） ｎ ＝１ ２ ．．．｝为马尔科夫
现根据式 ９ １０ 建立线性方程组如式 １６ 并 求其满足条件 １ ７ 的解 以作出对股市未来走势的长 期预测
１６
ｐ１， ｐ２， ｐ３， ｐ４ ０； ｐ１＋ ｐ２＋ ｐ３＋ ｐ４＝１ （１７）
易得 方程组 １ ６ 满足条件 １ ７ 的唯一解为
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Ｎａｎｋａｉ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｓｔｕｄｉｅｓ， Ｎｏ ６， ２０００
股市走势预测的随机分析方法研究
南 京 经 济 学 院 金 融 学 系 郭存芝 国泰君安证券天津塘沽营业部 梁 健
摘要 本文针对我国股市涨跌无序和随机性较强的特点 引入股市走势预测的马尔科夫过程模型 作 为对现有技术分析方法的有益补充 文中给出了模型的应用举例 对模型的应用作出了进一步的相关思 考
利用股市的历史资料 统计得出在连续两个时段 天 周 旬 月 内 前一个时段股指处于ｉ 区 而后 一个时段股指处于ｊ区的比率ｐｉｊ ｉ ｊ＝１， ２， ．．． ， ｎ 表 示第一时段股指处于ｉ 区 而第二时段股指处于ｊ 区的可 能性 构造一步转移概率矩阵
５
步转移概率ｐ
ｉ
（
ｊ
ｋ
）
写成矩阵形式分别为
３
南开经济研究 ２ ０ ０ ０ 年第 ６ 期
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４
对无限状态空间Ｅ ＝ ｛ １ ２ ． ． ． ｝ 转移概率ｐ 和 ｉｊ
ｐ （ｋ）写成矩阵形式分别为 ｉｊ
的马尔科夫链具有遍历性 就是说 无论股市初期股
指所处的区间Ｘ（０ ＝ （ ｘ１（０） ， ｘ２（０） ，
， ｘ （０） ） 如何 ｎ
经
过足够长的时间后 股指最终处于各个区间的概率分
布都是相同的 而且 这一概率分布可以通过求解一
个关于转移概率的简单线性方程组而唯一求得
76
Ｎａｎｋａｉ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｓｔｕｄｉｅｓ， Ｎｏ ６， ２０００
于ｎ 的马尔科夫链称为时齐马尔科夫链 此时 ｋ 步转
移概率可记为ｐ
ｉ
（
ｐ ｉｊ （ １ ）称为一步转移概
率 简记为ｐｉｊ 当ｋ＞１时 ｐｉｊ（ｋ）称为高阶转移概率 易
见 本文研究的股市走势随机过程 属于时齐马尔科
夫链
对有限状态空间Ｅ＝｛１ ２ ．．． ，Ｎ｝ 一步转移概率
ｐｉ
ｊ
和ｋ
链
２ 转移概率及其性质
式 １ 右边的条件概率
Ｐ｛Ｘ（ｎ＋ｋ）＝ｊ│Ｘ（ｎ）＝ｉ｝，ｋ １ （２）
称为马尔科夫链在ｎ 时刻的ｋ 步转移概率 记为
ｐｉｊ（ｎ，ｎ＋ｋ） 转移概率表示已知过程在ｎ 时刻处于状态ｉ 经ｋ 个
单位时间后 过程处于状态ｊ 的概率 转移概率不依赖
模型． 预测， １９９９ （５）． ［５］ 徐迪， 马大军， 李元熹． 基于神经元网络的股票市场预测． 系
统工程， １９９７， （６）． ［６］ 杨振宇． 股票的随机模型及投资风险初探． 系统工程， １９９４，
１２ （４）． ［７］ 马兹晖， 李楚霖． 证券市场两分模型： 贝叶斯估计． 预测，
１９９９ （３）． ［８］ 黄克中， 毛善培编著． 随机方法与模糊数学应用． 上海： 同
关键词 股指 预测 马尔科夫过程模型 相关思考 Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ： Ｓｔｏｃｋ Ｍａｒｋｅｔ Ｉｎｄｅｘ； Ｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇ； Ｍａｒｋｏｖ Ｐｒｏｃｅｓｓ Ｍｏｄｅｌ； Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｆｏｒ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ Ｉｎｔｅｒｒｅｌａｔｅｄ
我国证券市场是一个迅速发展起来的新兴市场 很不成熟 股市 熊 牛 交替 涨跌无序 还没有 形成自身内在的运行规律 在对我国股市走势的预测 中 应用现有的技术分析方法 预测结果往往不尽如 人意 本文针对我国股市随机性较强的特点 引入股 市走势预测的随机模型 马尔科夫过程模型 试图探 讨一种切合我国证券市场实际的股票投资预测方法 作为对现有技术分析方法的有益补充
１１
６
显然 移概率矩阵所有元素都是非负的 且每一行 元素之和等于１
易见 ｋ 步转移概率矩阵Ｐ ｋ 与一步转移概率矩 阵Ｐ 之间具有重要性质
Ｐ（ｋ）＝Ｐｋ ７ 有关马尔科夫链转移概率的另一个重要性质是马尔 科夫链的遍历性 所谓遍历性是指 若马尔科夫链转 移概率的极限存在 且与ｉ 无关 即
且极限分布｛ｐｊ ， ｊ＝１， ２， ．．． ， Ｎ｝是方程组
１４
若给定初始条件向量Ｘ（０）＝（ ｘ１（０） ， ｘ２（０） ， ， ｘｎ（０） ） 则由式 １ ４ 可得ｔ 个时段后的股市走势预测的马尔科夫 过程模型为
９
满足条件 的唯一解
济大学出版社， １９８７． ［９］ 申鼎煊． 随机过程． 武昌： 华中理工大学出版社， １９９０． ［１０］汪荣鑫． 随机过程． 西安： 西安交通大学出版社， １９８８．
（责任编辑 梁 琪 校对 张 炬）
并假设已知起始时股指处于区间２ ５００ 点至８００ 点之
间 即初始值为 ｘ １（０）＝０ ｘ ２（０）＝１ ｘ４（０）＝０
根据模型 １ ５ 可预测得
ｘ
（
３
０
）
＝
０
即一天后股指处于区间１ ２ ３ ４的概率分别为２５．００％ ３５．３５％ ２６．７２％ １２．９３％ 两天后股指处于区间１ ２ ３ ４的概率分别为１９．１６％ ３３．８３％ ３０．１５％ １６．８６％
参考文献
［１］ 陈明智． 股价（ 期货） 分析预测学． 北京： 教育科学出版 社，１９９３
［２］ 俞乔． 市场有效 周期异常与股价波动． 经济研究， １９９４ （９）． ［３］ 罗捍东． 证券动态投资策略． 预测， １９９９ （２）． ［４］ 魏巍贤， 周晓明． 中国股票市场波动的非线性ＣＡＲＣＨ预测
２ 应用举例 现以沪市为例 应用应用马尔科夫过程模型进行股 市走势预测 这里不妨将预测时间序列的单位以天计 并将股指 划分为四个区间 区间１ ５ ０ ０点以下 区间２ ５ ０ ０点至８００ 点之间 区间３ ８ ０ ０点至１１００点之间 区间４ １１００点以上 假设根据历史资料构造的一步转移概率矩阵为
一 马尔科夫过程概述
１ 关于马尔科夫过程的直观描述
马尔科夫（Ｍａｒｋｏｒ）过程简称马氏过程 是具有无后
效性的随机过程 所谓无后效性是指 当过程在ｔ 时刻 ｍ
所处的状态为已知时 过程在大于ｔ 的时刻ｔ 所处的状 ｍ
态的概率特性只与过程在ｔ 时刻所处的状态有关 而与 ｍ
过程在ｔ ｍ 时刻以前的状态无关 时间离散 状态离散的马尔科夫过程 简称马尔科
ｉ
指处于第ｉ（ｉ＝１， ２， ， ｎ）区的可能性 由全概率公式可知
根据式 １２ 有
１３
则称此马尔科夫链具有遍历性 容易证明 对有限马尔科夫链 如果存在正整数ｋ，使 ｐｉｊ（ｋ） ０， ｉ， ｊ＝１， ２， ， Ｎ ８ 则此链是遍历的 即
由此可得出结论 经过足够长的时间后 股指股指 处于区间１ ２ ３ ４的概率将分别为１９．１６％ ３３．８３％ ３０．１５％ １６．８６％
三 对模型应用的相关思考
本文讨论了股市走势预测的随机模型 股指预 测的马尔科夫过程模型 就股票投资问题本身而言 不仅股指时间序列可看作是一个马尔科夫过程 股票 投资的预期收益率时间序列也可看作是一个马尔科夫 过程 不仅整个证券市场的股指和预期收益率时间序 列可看作是马尔科夫过程 单一股票的股价与预期收 益率时间序列 证券组合的综合价格与预期收益率时 间序列也可看作是马尔科夫过程 因此 可以考虑将 马尔科夫过程模型应用与股票投资预测的上述其他各 个方面 以针对我国股市涨跌无序 随机性较强的特 点 更好地探讨切合我国证券市场实际的股票投资预 测方法 同时 对模型的应用 应在实践中不断摸索 与总结 适当确定预测时间序列的时间间隔的长短 合理把握状态空间的区间划分的粗细 以求取得较好 的预测效果
由式 ７ 知 ｋ 步转移概率矩阵Ｐ（ｋ ）为
Ｐ（ｋ）＝Ｐｋ １２
记向量Ｘ（ｔ）＝ （ ｘ１（ｔ） ， ｘ２（ｔ） ， ， ｘｎ（ｔ） ）为第ｔ个时段 股指的概率分布向量 其中ｘ （ ｔ ） 分别表示第ｔ 个时段股
１５
根据模型 １ ５ 可在已知初始条件 即特定时段股
指所处的区间 的情况下 对任意时段后股指所处区间
的概率分布作出预测
一般情况下 股指预测的马尔科夫链是有限马尔科
夫链 且存在正整数ｋ 使得ｐｉｊ（ｋ）＞０ （ｉ， ｊ ＝ １， ２， ， ｎ ） 所以 由前述马尔科夫链的有关性质可知 股指预测
夫链 显然 本文研究的股市走势随机过程 属于马
尔科夫链
２ 马尔科夫链的定义 转移概率
１ 马尔科夫链的定义
设随机序列｛Ｘ ｎ ｎ＝１ ２ ．．．｝的离散状态空间
为Ｅ
若对于任意ｍ 个非负整数ｎ １
ｎ２
．．．，ｎ （０ ｍ
ｎ１＜ｎ２＜．．．＜ｎｍ）和任意自然数ｋ 以及任意ｉ１ ｉ２ ．．．， ｉ ｍ