高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1.前n项和法(知n S 求n a )⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=,求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式:已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=,求数列|}{|n a 的前n项和n T练习:1、若数列}{n a 的前n 项和nn S 2=,求该数列的通项公式。
答案:⎩⎨⎧=-122n n a )2()1(≥=n n2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ,求该数列的通项公式。
答案:nn a 32⨯=3、设数列}{n a 的前n项和为n S ,数列}{n S 的前n 项和为n T ,满足22n S T n n -=, 求数列}{n a 的通项公式.4.n S 为{n a }的前n 项和,n S =3(n a -1),求n a (n ∈N +) 5、设数列{}n a 满足2*12333()3n na a a a n N +++=∈n-1…+3,求数列{}n a 的通项公式(作差法) 2。
形如)(1n f a a n n =-+型(累加法)(1)若f(n)为常数,即:d a a n n =-+1,此时数列为等差数列,则n a =d n a )1(1-+。
(2)若f(n)为n 的函数时,用累加法.例 1. 已知数列{a n }满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a例2.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.例3.已知数列}{n a 满足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式。
3。
形如)(1n f a a nn =+型(累乘法) (1)当f(n)为常数,即:q a a nn =+1(其中q 是不为0的常数),此数列为等比且n a =11-⋅n q a 。
(2)当f(n )为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ,求数列的通项公式.答案:12+=n a n练习:1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ,求n n S a 与。
答案:)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a an n 的通项公式。
4。
形如sra pa a n n n +=--11型(取倒数法)例1. 已知数列{}n a 中,21=a ,)2(1211≥+=--n a a a n n n ,求通项公式n a练习:1、若数列}{n a 中,11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a 。
答案:231-=n a n2、若数列}{n a 中,11=a ,112--=-n n n n a a a a ,求通项公式n a .答案:121-=n a n5.形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型(构造新的等比数列)(1)若c=1时,数列{n a }为等差数列;(2)若d =0时,数列{n a }为等比数列;(3)若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下:设)(1A a c A a n n +=++,利用待定系数法求出A例1.已知数列}{n a 中,,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 练习:1、若数列}{n a 中,21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。
答案:121+=-n n a2、若数列}{n a 中,11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。
答案:1)32(23-⨯-=n n a6。
形如)(1n f pa a n n +=+型(构造新的等比数列)(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b是常数,且0≠k ),则后面待定系数法也用一次函数。
例题。
在数列{}n a 中,231=a ,3621-+=-n a a n n ,求通项n a 。
解:原递推式可化为b n k a b kn a n n+-+=++-)1()(21比较系数可得:k=-6,b =9,上式即为12-=n n b b所以{}n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21. 1)21(29-=∴n n b 即:n n n a )21(996⋅=+-,故96)21(9-+⋅=n a n n .练习:1、已知数列{}n a 中,31=a ,2431-+=+n a a n n ,求通项公式n a(2)若nq n f =)((其中q 是常数,且n≠0,1)①若p=1时,即:nn n q a a +=+1,累加即可②若1≠p 时,即:nn n q a p a +⋅=+1,后面的待定系数法也用指数形式.两边同除以1+n q 。
即:qq a q p q a n n n n 111+⋅=++, 令nnn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+。
然后转化为类型5来解, 例1. 在数列{}n a 中,521-=a ,且)(3211N n a a n n n ∈+-=--。
求通项公式n a1、已知数列{}n a 中,211=a ,n n n a a )21(21+=-,求通项公式n a .答案:121++=n n n a2、已知数列{}n a 中,11=a ,n n n a a 2331⋅+=+,求通项公式n a 。
答案:nn n a 23371⋅-⋅=-题型二 根据数列的性质求解(整体思想)1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ; 2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和,327++=n n T S n n ,则=55b a .3、设n S 是等差数列{}n a 的前n项和,若==5935,95S Sa a 则( ) 5、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3 。
7、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( ) 8、在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a ab +=,则99100a a += . 题型三:证明数列是等差或等比数列 A )证明数列等差例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a1=21.求证:{n S 1}是等差数列;B)证明数列等比例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; ⑵求数列{}n a 的通项公式; 题型四:求数列的前n项和 基本方法:A )公式法, B)分组求和法1、求数列n{223}n +-的前n 项和n S 。
2.)12()1(7531--+⋯++-+-=n S nn3.若数列{an}的通项公式是a n =(-1)n·(3n —2),则a 1+a 2+…+a 10=( ) A .15 B .12 C.-12 D.—15 4.求数列1,2+21,3+41,4+81,…,121-+n n 5。
已知数列{a n }是3+2-1,6+22-1,9+23—1,12+24-1,…,写出数列{an}的通项公式并求其前n 项和S n.C )裂项相消法,数列的常见拆项有:1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++111;例1、求和:S =1+n++++++++++ 32113211211 例2、求和:nn +++++++++11341231121 。
D)倒序相加法,例、设221)(xx x f +=,求:).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ E)错位相减法,1、若数列{}n a 的通项nn n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S .2.21123(0)n n S x x nx x -=++++≠ (将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑)题型五:数列单调性最值问题例1、数列{}n a 中,492-=n a n ,当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时,=n 。
例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S 。
已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N .(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围。
题型六:总结规律题 1. 已知数列{}n a 满足),2(525*11N n n a a a n n n ∈≥--=--,且{}n a 前2014项的和为403,则数列{}1+⋅n n a a 的前2014项的和为?2. 数列{a n}满足a n +1+(-1)nan =2n -1,则{an }的前60项和为? 常见练习1.方程2640x x -+=的两根的等比中项是( )A。
3 B .2± C. D。
2 2、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -,1a +,4a +,则n a =A.342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B.243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C.1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D.1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为( ) A.12 B.14 C.16 D .18 4.{a n }是等差数列,10110,0S S ><,则使0n a <的最小的n 值是( )A .5B 。
6 C.7 D.8 5。
若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0,则θ的值为( )A. ()3k k Z ππ±∈ B. 2()3k k Z ππ±∈ C. 22()3k k Z ππ±∈ D .以上的答案均不对 6。