2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则MN =（）A ．3B ．23C ．23D ．432．若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取的两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ）A ．320B ．310C ．925D ．353．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±4．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点P 在C 上，直线PF 与l 交于点T ．若23PFO ∠=π，则PF PT = A ．14 B ．13 C ．12 D ．235．已知点A 是函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图像上的一个最高点，点B 、C 是函数()f x 图像上相邻两个对称中心，且三角形ABC 的周长的最小值为222+.若0m ∃>，使得()()f x m mf x +=-，则函数()f x 的解析式为A ．sin()24y x ππ=+ B ．sin()23y x ππ=+C ．sin()4y x ππ=+D ．sin()3y x ππ=+ 6．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的内切圆半径为( )A ．27B ．227C ．327D ．4278．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列11{}n n a a +⋅前n 项和的最大值为（ ）A ．49 B ．1C ．4181 D ．1513159．已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),1ln2-∞- B ．(],1ln2-∞- C ．()1ln2,-+∞ D ．[)1ln2,-+∞10．奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(]0,1D ．()0,111．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦 3A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为（ ） A ．2π B ．823 C 2πD ．2312．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()2()ln 1f x x x =++，则不等式(21)1ln 2f x +>+的解集为（ ）A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1}x x >D ．{|1}<x x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若42S 4S =，则64S S =______．14．在等腰梯形中，AB//CD ，AB 2=，AD 1=，DAB 60∠=o，若BC 3CE =u u u r u u u r ，AF λAB =u u u r u u u r，且AE DF 1⋅=-u u u r u u u r，则λ=__．15．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11,AA P =为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论：①若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个； ②若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧； ③若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2；④若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形的面积为94π． 其中所有正确结论的序号为_____．16．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某汽车公司为调查店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的四座城市的店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：根据统计的数据进行分析，求关于的线性回归方程；现要从三座城市的10个店中选取3个做深入调查，求城市中被选中的店个数的分布列和期望.附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；.18．（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知212122n S n n =-+.求{}n a 的通项公式；设122221,n n nn n b T b b b a a +==+++L ，求n T .19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，[)0,2ϕ∈π）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．写出曲线12,C C的极坐标方程；在极坐标系中，已知点A 是射线():0l θαρ=≥与1C 的公共点，点B 是l 与2C 的公共点，当α在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求OB OA 的最大值．20．（12分）已知直线l 的方程为2y x =--，点P 是抛物线2:4C x y =上到直线l 距离最小的点.求点P 的坐标；若直线m 与抛物线C 交于AB 、两点，ABP ∆的重心恰好为抛物线C 的焦点F .求ABP ∆的面积. 21．（12分）已知点为圆：上任意一点，定点的坐标为，线段的垂直平分线交于点.求点的轨迹方程；若动直线与圆相切，且与点的轨迹交于点、，求证：以为直径的圆恒过坐标原点.22．（10分）已知椭圆22:24C x y +=．求椭圆C 的离心率；设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．D 12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．13414．1415．①②④16．8三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接利用最小二乘法求关于的线性回归方程；（2）先求出的可能取值为：0，1，2，3.再求出它们对应的概率和分布列，最后求出其期望.【详解】（1）；，..所以回归直线方程为.（2）的可能取值为：0，1，2，3.；；；.的分布列为0 1 2 3所以的期望为.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．（1）11na n=-+（2）1118418nTn=---【解析】【分析】（1）当2n≥时，111n n na s s n-=-=-+，检验1n=成立即可求解；（2）由2221n n n b a a +=+=111221129n n ⎛⎫- ⎪--⎝⎭裂项相消求和即可【详解】（1）当2n ≥时，()22112111222n n n a s s n n n -=-=-++- ()211112n n --=-+ 当1n =时，满足上式，11n a n ∴=-+ （2）由11n a n =-+ 可得()()2221121129n n n b a a n n +==+-- 111221129n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭12n T ∴=111111977521129n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1112929n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭1118418n =--- 【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题19．（1）sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos ρθ=（2）2+ 【解析】【试题分析】（1）对于曲线1C 直接代入公式即可得到极坐标方程，对于2C 先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示,OA OB ，然后利用辅助角公式化简求得最大值. 【试题解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2） 由（1）知1,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭… 由02πα≤≤知52+444πππα≤≤，当242ππα+=， 即8πα=时，OBOA有最大值2+．…20． (1) P 点坐标为()2,1-，（2）332【解析】 【分析】()1设点P 的坐标，运用点到直线距离求出最小值时的结果()2设()()1122A x y B x y ，，，结合已知焦点F 是ABP ∆的重心计算出直线m ，求出点到直线的距离为高，从而计算出面积 【详解】(1)设点P 的坐标为()00,x y ，则2004x y =，所以，点P 到直线l 的距离：()202000022424222242x x x x y d ++++++===≥，得当且仅当02x =-时取最小值，此时P 点坐标为()2,1-.(2)抛物线C 的焦点F 的坐标为()0,1，设线段AB 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性质知2PF FQ =，又()2,1P -，所以()()002,02,1x y =-，古得001,1x y ==，即Q 的坐标为()1,1，设()()1122,,,A x y B x y ，则122x x +=，且2114x y =，2224x y =，以上两式相减得()()()1212124x x x x y y -+=-，所以121212142AB y y x x k x x -+===-，故直线m 的方程为()1112y x -=-，经检验，符合题意， 即直线m 的方程为：1122y x =+，联立抛物线2:4C x y =得2220x x --=， 所以()()222121215AB x x y y =-+-=，且点P 到直线m 的距离为22155--+=， 所以ABP ∆的面积为13153225S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及三角形面积时的高，本题较为综合 21．（1）（2）见证明【解析】 【分析】（1）先由题意得到，再由，结合椭圆的定义，即可得出结果；（2）先设直线的方程为，由直线与相切，得到的关系式，再设，联立直线与椭圆方程，只需验证即可证明结论成立.【详解】解：（1）圆的圆心为，半径，连接，由已知得：，由椭圆的定义知：点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴长为的椭圆即点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为，与相切，，即设，联立代入消元得：，，,代入（*）式得又以为直径的圆恒过定点.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、椭圆方程、以及直线与椭圆位置关系，熟记椭圆的定义与标准方程，以及椭圆的简单性即可，属于常考题型. 22．（1）22c e a ==（2）22【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果.（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,2a c ==，故椭圆C 的离心率22c e a ==. （2）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB u u u r u u u r ⋅=，即0020tx y +=，解得002y t x=-，又220024x y +=， 所以22200||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=2220002044y x y x +++ =2220002042(4)42x x x x --+++=2200284(04)2x x x ++<≤， 因为22002084(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥， 故线段AB 长度的最小值为22.考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。