NPV1 x i 2 i1 NPV1 NPV2
NPV
②
NPV1
A E i1 x C(FIRR,0) F i2 B D
将①代入②得
FIRR i1 NPV1 NPV1 NPV2 (i2 i1 )
NPV2
i
即为内插法 注意：必须是一正一负。
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内部收益率计算步骤 ①在一般情况下，找出两个折现率i1和i2使得，NPV1>0， NPV2<0，则FIRR介i1和i2于之间，即i1 <FIRR < i2 ； ②用内插法求 NPV1 FIRR i1 (i 2 i1 ) NPV1 NPV 2
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例7.12（2）

（2）画图 画追加投资收益率进行互斥方案选择图
年净收益 147 124 106 77 57 A D1
0%
13%
E
8-12%基准收益率
% 15.7 B 19%
9%
C
6%
21%
0 200
300
400
500
600
投资额
横轴表示方案的初期投资，纵轴表示方案 的年净收益，A、B、C、D、E表示方案点。各点连 成直线表示追加投资收益率。 由图可知，所连折线并非单调递减（实线）；若以虚线连成的折线则是单调弟减曲线。 判断：若发现方案上B、D在单调递减的折线之下，我们则称B、D为无资格方案，应该剔除。 剔除后即C在A的基础上追加200万元投资，E在C的基础上追加200万元投资。 14
注：（i2）+( i1）应为（i2）- ( i1） ③为保证精度，应多次计算，使满足i2 - i1尽量小，在这种情 况下，用尽似法求得FIRR，工程上是允许的。
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例3 现金流量如下表所示，求内部收益率。
t年末 Ft(元) 0 -1000 1 -800 2 500 3 500 4 500 5 1200
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财务内部收益率判据
对于独立方案来说，在财务评价中，FIRR 应与部门或行业 的基准收益率ic（详见基准收益率及其确定）相比较,当FIRR≥ ic 时，表明项目获利水平超过或大于基准收益率的获利水平，在 财务上是可能接受的；对多选方案，可选FIRR最大者。 优缺点： FIRR的优点是直观，易于理解，计算不必事先确定一个折 现率；其缺点是量的计算比较复杂、费时，且同样需要一个ic作 为判据。
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解：

一次支付现值公式： P＝F(P/F,i,n)=F/(1+i)n 等额支付现值公式 P=A(P/A,i,n)=A[(1+i)n-1]/i(1+i)n
i 12%时 FNPV(12%) -1000-800(P/F,12,1) 500 P/A,12,3 P'/F,12,1 1200 P/F,12,5 1000 800 0.8929 500 2.4018 0.8929 1200 0.5674 39元 i 15%时 FNPV(15%) -1000-800(P/F,15,1) 500 P/A,15,3 P'/F,15,1 1200 P/F,15,5 1000 800 0.8696 500 2.2832 0.8696 1200 0.4972 106元 FIRR 12% 15% 12% 39 12 8% 39 106退出例7.12（3）
（3）再计算追加投资收益率
(106 57) ( P / A, rC A ,7) (400 200) 0, rC A 15.7% (147 106) ( P / A, rE C ,7) (600 400) 0, rE C 10%
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追加内部收益率


1、追加内部收益率就是投资的增加额的收益比率。
2、追加投资收益率的本质 追加投资收益率就是两方案优劣相等时的资本利率。
PW(i)
2700 2200
d c e
a 10% 13% 22.1% A
b 26.4% B
i
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4、用追加投资收益率进行互斥方案比选例子

例7.12：某公司拟在5个斥方案中选择一个最优方案，各方案资料如下表所示，
（二）财务内部收益率
财务内部收益率是反映项目获利能力的重要动态指标，它是指项目在整个 计算期内各年净现金流量的累计净现值等于零时的折现率（FNPV=0的折现 率）。它反映了项目所占有资金有恢复能力。
FNPV (CI CO) t (1 FIRR ) t 0
t 1 n
式中，FIRR为内部收益率。 财务内部收益率表达式是一个一元高次方程，其根求解复杂，常采用“线性内插法”求IRR的近 似值(I*)。
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财务内部收益率的应用范围 （1）用于单一方案评价，用于正规（常规）投资方案 正规投资方案指方案的净现金流量符合FNPV0<0, FNPVt (t=0,1,2,..,n)仅改变符号一次， 且符合 ∑ FNPVt >0 的条件,称常 规投资项目,有唯一的内部收益解； （2）用于独立方案的比选； （3）但不能直接用于互斥方案比选，在互斥方案比选中，应采用 差额（追加）投资内部收益率。 基于上述优缺点，国际金融机构（如世界银行、亚洲开发银 行）对项目的评价时均采用内部收益率。
若：ic=8%，C方案比EA方案好，E方案比A方案好，则E方案最优； r=12%，则C方案最优； r=10%，则C与E方案优劣，任选取一个方案。 可见，互斥方案的比选中，应排除音调减小折线中的凹点方案，形成递 减函数，出现新的投资方案并进行曲比选。
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FNPV FNPVi=0 净现值函数曲线
0 IRR
Ic
1
关于内部收益率方程的多解问题
1、方案的净现金流量符合F0<0, Ft(t=0,1,2,..,n)仅改变符号一次， 且符合 ∑ Ft >0 的条件,称常规投资方案,有唯一的内部收益解； 2、 方案的净现金流量符合F0 <0，Ft(t=0,1,2,..,n)仅改变符号一次， 且符合 ∑ Ft<0 的条件，有唯一的负内部收益率,此方案应被淘 汰； 3、方案的净现金流量符合Ft(t=0,1,2,..,n)不改变符号，内部收益率 不存在，因此，不能用内部收益率法进行项目经济评价； 4、 方案的净现金流量符合F0 <0，Ft(t=0,1,2,..,n)改变符号多于一 次，其内部收益率解的数目不超过Ft符号改变的次数。该情况 条件，仍存在唯一的内部收益解的可能。
106 77 ( P / A, rC B , 7) (400 300) 0,
rC B 19% (124 106) ( P / A, rD C , 7) (500 400), rD C 6% (147 127) ( P / A, rE D , 7) (600 500), rE D 13%
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内部收益率的评价应用


①内部收益诣描述投资方案本身的“效率” 若投资方案的内部收益率≥基准收益率，该 方案可以接受。 若投资方案的内部收益率＜基准收益率，该 方案应放弃。 当求得投资方案的效率较其他投资方案来的大时，说明前方案较后方案好。 ②内部收益率与NPV(i)、NFV(i)（净将来值）、NAV(i)（净年值）的联系。 若投资方案的内部收益率≥基准收益率，则方案的NPV(i)、 NFV(i) 、 NAV(i) 必≥ 0 。 若投资方案的内部收益率＜基准收益率，则方案的NPV(i)、 NFV(i) 、NAV(i) 必＜0。 故无论采用数额法还是比率法，其评价结果都是相同的。由其中任何一种 结论都可以推导出另外的结论。
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表3-10各方案图表
NVP
500 5 0 0 IRRB=-7.5%
NVP
0
IRRA=20.3%
i
0
a
i
b
-1000
NPV 1900
IRRc不存在 800
IRRE=20%
IRRE=111.5%
c
i
d
i
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内部收益率的计算方法（内插法）
直线内插公式推导内部收益率计算公式 如右图，直线AB表示净现值与i的一般关系，且AB//ED。 x=FIRR-i1 ① 又因为：∆AEC∽ ∆DEF 所以有：
n=7年，该公司基准收益率在8%到12%之间，试用追加投资收益率法进行方案 比选。
方案 A B C D E 投资 200 300 400 500 600 净收益/年 57 77 106 124 147
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例7.12（1）
解：（1）求追加投资收益率
A0表示不投资的方案。
57 ( P / A, rA A0 , 7) 200 0, rA A0 12% (77 57) ( P / A, rB A , 7) (300 200) 0, rB A 9%