解 X 的分布函数为
F(x)
1
1x
e 2000
,
0 ,
x0, x0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607 .
(2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000}
P{ X 2000} P{ X 1000}
解 X 的分布密度函数为
f
(
x
)
1 3
,
2 x5,
0 , 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b
3,
2 3
.
P{Y
2}
3 2
故有 F (a) lim F( x) , F (a) lim F( x) ,
xa
xa
即
A
B
arcsin
a a
A πB 0 , 2
A
B
arcsin
a a
A
πB 1, 2
解得 A 1 , 2
B 1 . π
所以
0,
x a ,
F(x)
1
1 arcsin
x
,
a xa,
2 1
,
π
a xa.
(2) P{a X a} F(a) F(a)
补充5 已知 X ~ N ( μ,σ2 ) , 求 P{c X d } .
解
d
P{c X d}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x，
c 2πσ
令 xμu,则 σ
d
P{c X d}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x
c 2πσ
dμ
σ c μ
σ
1
u2
e 2 σdu
2πσ
dμ
σ c μ
σ
dμ
σ
1
2 3
2
1
2 3
33
2 3
3
1
2 3
0
20 27
.
补充3 某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
θ=2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小
时以上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小
时以上, 求还能使用1000小时以上的概率.
2
2
1 1 arcsin( a ) 0
2π
2a
11π 2. 2π6 3
(3) 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
F( x)
1其他 .
补充2 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大 于3 的概率.
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607 .
补充4 已知 X ~ N (0,1) ,求 P{1.25 X 2} . 解 P{1.25 X 2}
Φ(2) Φ(1.25) 0.9772 0.8944 0.0828 .
u2
e 2 du
2π
1
u2
e 2 du
c μ σ
2π
1
u2
e 2 du
2π
Φ
d
σ
μ
Φ
c
σ
μ
.
因而 P{c X d} F (d ) F (c)
结论得证.
Φ
d
σ
μ
Φ
c
σ
μ
.
补充例题
补充1 设连续型随机变量 X 的分布函数为
0 ,
x a ,
F(
x)
A
B arcsin
x a
,
a xa,
1 ,
xa.
求 : (1)系数 A, B 的值 ; (2) P{a X a} ; 2 (3) 随机变量 X 的概率密度 .
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x)连续,