当前位置:文档之家› 2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5},B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由一名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题中,真命题为( )P 1: |z |=2, P 2: z 2=2i ,P 3: z 的共轭复数为1+i ,P 4: z 的虚部为-1 .A. P 2,P 3B. P 1,P 2C. P 2,P 4D. P 3,P 44. 设F 1,F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点,P 为直线23ax =上的一点,12PF F △是底角为30º的等腰三角形,则E 的离心率为( ) A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知{a n }为等比数列,a 4 + a 7 = 2,a5 a6 = 8,则a 1 + a 10 =( )A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1, a 2,…,a N ,输入A 、B ,则( ) A. A +B 为a 1, a 2,…,a N 的和B.2B A +为a 1, a 2,…,a N 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1, a 2,…,a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1, a 2,…,a N 中最小的数和最大的数 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A. 6B. 9C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=34,则C 的实轴长为( ) A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是( )A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(,则)(x f y =的图像大致为( )A.B.C.D.11. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为( ) A.62B. 63C. 32D. 22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上,点Q 在曲线)2ln(x y =上,则||PQ 的最小值为( ) A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D. )2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13. 已知向量a ,b 夹角为45º,且1=||a ,102=-||b a ,则=||b .14. 设x ,y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ,则2z x y =-的取值范围为 . 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)服从正态分布N (1000,502),且各元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ,则}{n a 的前60项和为 . 三、解答题:(解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17. (本小题12分)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,0sin 3cos =--+c b C a C a .(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2,△ABC 的面积为3,求b ,c .18. (本小题12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ)若花店某天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N )的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以(i )若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差;(ii )若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19. (本小题12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,121AA BC AC ==,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD . (Ⅰ)证明:DC 1⊥BC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BD -C 1的大小.20. (本小题满分12分)设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上的一点,已知以F 为圆心,F A 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点. (Ⅰ)若∠BFD =90º,△ABD 面积为24,求p 的值及圆F 的方程;(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 的距离的比值.C BADC 1A 1B 121. (本小题12分)已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.(Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间;(Ⅱ)若b ax x x f ++≥221)(,求b a )1(+的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. (本小题10分)【选修4-1:几何证明选讲】如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ,G 两点,若CF // AB ,证明: (Ⅰ)CD = BC ; (Ⅱ)△BCD ∽△GBD .23. (本小题10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点,求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围.24. (本小题10分)【选修4-5:不等式选讲】 已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.(Ⅰ)当a =-3时,求不等式f (x ) ≥ 3的解集;(Ⅱ)若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2],求a 的取值范围.G2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理 科 数 学【参考答案】一、选择题: 1.【答案:D 】解析:要在1,2,3,4,5中选出两个,大的是x ,小的是y ,共2510C =种选法. 2.【答案:A 】解析:只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可,共有1224C C 种安排方案. 3.【答案:C 】解析:经计算2221,||(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =,复数z 的共轭复数为1i -+,z 的虚部为1-,综上可知P 2,P 4正确.4.【答案:C 】解析:由题意可得,21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =,即32()22a c c -=, 所以34c e a ==. 5.【答案:D 】解析:472∵a a +=,56478a a a a ==-,4742a a ∴==-,或4724a a =-=,,14710∵,,,a a a a 成等比数列,1107a a ∴+=-.6.【答案:C 】解析:由程序框图判断x >A 得A 应为a 1,a 2,…,a N 中最大的数,由x <B 得B 应为a 1,a 2,…,a N 中最小的数. 7.【答案:B 】解析:由三视图可知,此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形(俯视图),高为3的三棱锥,故其体积为113932V =⨯⨯=. 8.【答案:C 】解析:抛物线的准线方程是x =4,所以点A (4,-在222x y a -=上,将点A 代入得24a =,所以实轴长为24a =.9.【答案:A 】 解析:由322,22442k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得,1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ,15024∵,∴ωω>≤≤.10.【答案:B 】解析:易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立,当且仅当0x =时,取等号,故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11.【答案:A 】解析:易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O -ABC 是棱长为113O ABC V -==,2S ABC O ABC V V --==. 12.【答案:B 】 解析:因为12xy e =与ln(2)y x =互为反函数,所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称,故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离,设切点为A ,则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122x x y e e ''===,2x e ∴=,即ln 2x =,故切点A 的坐标为(ln 2,1),因此,切点A 点到直线y =x距离为d ==,所以||2ln 2)PQ d ==-. 二、填空题: 13.【答案:解析:由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+24|||10b b =-+=,解得||32b =.14.【答案:[3,3]-】解析:画出可行域,易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时,Z 取最小值-3;当直线2Z x y =-经过点(3,0)时,Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-. 15.【答案:38】解析:由已知可得,三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12,所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228--⨯=. 16.【答案:1830】解析:由1(1)21nn n a a n ++-=-得2212124341①②k k k k a a k a a k -+-=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩,由②-①得,21212k k a a +-+=③ 由①得, 2143656059()()()()奇偶S S a a a a a a a a -=-+-+-++-(1117)30159********+⨯=++++==.由③得, 3175119()()()奇S a a a a a a =++++++5957()21530a a ++=⨯=,所以60()217702301830奇奇奇偶偶S S S S S S =+=-+=+⨯=.三、解答题:17.解析:(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin A C A Csin sin 0B C --=,sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=sin cos sin A C A C -sin 0C -=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin()106A π∴--=,1sin()62A π-=,0A π<<,5666A πππ∴-<-<,66A ππ∴-=,3A π∴=.(Ⅱ)ABCS=,1sin 24bc A ∴==4bc ∴=,2,3a A π==,222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=,228b c ∴+=,解得2b c ==.18.解析:(Ⅰ)当n ≥16时,y =16×(10-5)=80,当n ≤15时,y =5n -5×(16-n )=10n -80,得1080,(15)()80,(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩ .(Ⅱ)(ⅰ)X 可能取60,70,80. P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7, X 的分布列为:X X 的方差D (X ) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. (ⅱ)若花店计划一天购进17枝玫瑰花,X 的分布列为X因为76.4>76,所以应购进17枝玫瑰花. 19.解析:(Ⅰ) 证明:设112AC BC AA a ===,直三棱柱111C B A ABC -,1DC DC ∴==, 12CC a =,22211DC DC CC∴+=,1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥,1DC DC D =,1DC ∴⊥平面BDC . BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知,1DC =,1BC =,又已知BD DC ⊥1,BD ∴=. 在Rt ABD △中,BD =,,90AD a DAB =∠=,AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=,C BADC 1 A 1 B 1AC BC ∴⊥.法一:取11A B 的中点E ,则易证1C E ⊥平面1BDA ,连结DE ,则1C E ⊥BD ,已知BD DC ⊥1,BD ∴⊥平面1DC E ,BD ∴⊥DE ,1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. 在1Rt C DE △中,1111sin 2C E C DE C D ∠===,130C DE ∴∠=. 即二面角11C BD A --的大小为30.法二:以点C 为坐标原点,为x 轴,CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . (),,DB a a a =--,()1,0,DC a a =-,设平面1DBC 的法向量为1111(,,)n x y z =,则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取1(1,2,1)n =.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =. 设1n 与2n 的夹角为θ,则12123cos ||||6n n n n θ⋅===⋅⨯, 30θ∴=. 由图可知,二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30.20.解析:(Ⅰ) 由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =. 点A 到准线l 的距离d FB FD===.由ABD S =△得,11222BD d p ⨯⨯=⨯= 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=. (Ⅱ) 由对称性,不妨设点(,)A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90oADB ∠=,2BDp ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x22=得A x =.直线m 的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x +=. 由pyx 22= 得22x y p=,x yp '=. 由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为)6p,直线n的方程为0x -=. 所以坐标原点到m ,n 3=.21.解析:(Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+,令x =1得,f (x )=1,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+,∴()1xf x e x '=-+,易知()1xf x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>,()00f x x '<⇔<,所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞,减区间为(,0)-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立,即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥ 恒成立,()(1)x h x e a '=-+.(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立,()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时,()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立,则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时,()(1)xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得ln(1)x a =+,故()0ln(1)f x x a '>⇔>+,()0ln(1)f x x a '<⇔<+,当ln(1)x a =+时,()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥,即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++,10a +>,22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++,令22()ln 0u x x x x x =-> (),则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x ''>⇔<<<x ⇔>x =()u x取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e. 综上,若b ax x x f ++≥221)(,则 b a )1(+的最大值为2e .22.解析:(Ⅰ) ∵D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,∴DE //BC . ∵CF //AB ,DF //BC ,∴CF //BD 且CF =BD ,∵又D 为AB 的中点,∴CF //AD 且CF =AD ,∴CD =AF . ∵CF //AB ,∴BC =AF ,∴CD =BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC //GF ,∴GB =CF =BD ,∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ,∴△BCD ∽△GBD .23.解析:(Ⅰ)依题意,点A ,B ,C ,D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ. 所以点A ,B ,C ,D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ,则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.G24.解析:(Ⅰ) 当3a =-时,不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323x x x ≤⎧⎪⇔⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥. 所以当3a =-时,不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.(Ⅱ)()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[,即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立,即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立,即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立,所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩,即30a -≤≤. 故a 的取值范围为[]3,0-.。

相关主题