公平席位的分配数学(2)班学号 0907022029 郭子龙摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。

本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条关键词：分配相对尾数 Balinsky & Young不可能定理正文1 问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。

处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。

这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q 值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。

2 模型假设2.1 合理假设1.比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知；2.各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变；3.委员分配以各宿舍人数为唯一权重。

2.2 符号约定3 模型的建立与求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理表3.2按Q 值法模型分配首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式)1(2+=i i ii m m n Q C B A i ,,=对剩下的名额进行分配3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立设n ，m 分别表示宿舍总人数和总分配席位数，i n (1,2,3i =)表示各宿舍人数，令iij n a j =(1,2,3,1,2,...i j ==)，则得到一个数列{}ij a ，将该数列按递减顺序重新排列，得到{}()k ija ，其中()k ija表示{}()k ija 中第k 大的项。

取{}()k ija 中前m 项，则相应得到{}{}()k p ijm a i p ==(k=1,2,...,m)中的元素的个数(1,2,3p =)，1m ,2m ,3m 即为按D ’hondt 模型分配的结果。

3.3.2 按D ’hondt 模型分配根据建立的D ’hondt 模型，编写MATLAB 程序求出结果（附件-程序6，附录-输入及运行结果3）：3.4 相对尾数模型 3.4.1 模型准备讨论一般情况:k 个宿舍人数分别为i n ,1,2,...,i k =,总人数为1...k n n n =++,待分配的席位为m 个,理想化的分配结果是ip (1,2,...,i k =),满足1kii m p ==∑,记ii n q mn =(1,2,...,i k =)。

显然,若i q 全为整数,应有i q =i p (1,2,...,i k =),当i q 不全为整数时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。

公理一：[][]i i i q p q -+≤≤(1,2,...,i k =),即i p取[]i q -或[]i q +之一,其中[]i q -=[]i q ,[]i q +=[]1i q +,[]i q 表示i q 的整数部分。

公理二：1212(,,,...,)(1,,,...,)i k i k p m n n n p m n n n ≤+,1,2,...,i k =,即总席位增加时,各宿舍的席位数不应该减少。

公理一显然满足Balinsky & Young 不可能定理 (见附录) 中的公理4（公平分摊性）,公理二满足其的公理1（人口单调性）和公理3（名额单调性）。

令[]i i i i i n n s m m q q n n --⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦,称其为对第i 个宿舍的绝对尾数值。

令[]i i i s r q -=,称其为对第i 个宿舍的相对尾数值。

3.4.2 模型建立与求解由于人数都是整数,为使分配趋于公平,需所有的i r 越小越好,所以趋于公平的分配方案应该是最大的i r 达到最小,即所有的i r 达到最小。

为方便起见,首先考虑只有两个宿舍的情形,即2k =,12n n n =+,且12n n ≠,1q 和2q 不全是整数(实际上,他们同为整数或小数)。

记i p -,i r -为总席位增加一席时的分配结果和相对尾数。

给出定理:定理:以下分配方案满足公理一,二，若12r r =,且12s s >,则取111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22n p m n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,即按比例加惯例法分配; 若12r r >,则取111n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,22n p m n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; 若12r r <,则取11n p m n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,221n p m n -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

Balinsky & Young 不可能定理公理 1 (份额单调性) 一个州人口的增加不会导致它失去席位。

公理 2 (无偏性) 在整个时间上平均, 每个州应得到它自己应分摊的份额。

公理 3 (席位单调性) 总席位增加不会导致某个州名额减少。

公理 4 (公平分摊性) 任何州的席位数都不会偏离其比例的份额数。

公理 5 (接近份额性) 没有从一个州到另一个州的名额转让会使得这两个州都接近它们应得的份额。

按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论。

设1r ,2r ,3r 全部为零(实际上,如果有一个为零,即是按两个宿舍分配),可以做以下分配:1)当123r r r ==时,按比例分配取整后,剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按比例加惯例法分配;2)当123r r r >=时,按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配一席给第一个宿舍,另外一席分配给第二三个宿舍中绝对尾数值较大者；3)当123r r r =>时，按比例分配后，若剩余一个席位分配给第一二个宿舍中绝对尾数值较大者，若剩余两个席位，则分配给第一二宿舍各一席；4)当123r r r >>时，按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两个席位,则分配给第二个宿舍。

一般地，对k 个宿舍，设1r ,2r ,…，n r不全为零，且12...k r r r ≥≥≥，则当1t t r r +≠时，将剩余的1ki i n t m m n =-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑个席位分配给第一至第t 个宿舍各一席，当112t t t t r r r r -++>=>时，1ki i n t m m n =-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 个席位分配给第一至第1t -个宿舍及t s 和1t s +较大的宿舍各一席，当11t t t t s r r r r -++>==（1s k t <≤-）时，1ki i n t m m n =-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 个席位分配给第一至第1t -个宿舍及t s ，1t s +，…t s s +中较大的宿舍各一席，当1't st s t s r r r --++>=（1,'s s k t <≤-），1kii n t m mn =-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 个席位分配给第一至第t s-个宿舍及t s ，1t s +，…t s s +中s 个较大的所对应的宿舍各一席。

4 模型检验及结果分析席位分配的尾数模型满足Young 公理的1、3、4条，是以严格证明了的定理形式给出。

对按上述四种分配模型分配的结果列表比较。

表格中，B表示比例加惯例法，Q表示Q值法，D表示D'hondt法，R表示相对尾数法。

“比例加惯例”法用各团体人数占团体总人数的比例乘以总席位数, 取其整数位为第一次分配, 再次分配时, 则按小数位的大小分, 大的先分配, 直到席位分完。

从表4看到，当总席位数增加时，C宿舍分得的席位却减少；Q值法利用相对不公平度建立了衡量不公平程度的数量指标, 进而将席位分给最不公平的一方。

D’hondt方法将各团体的人数用正整数相除, 其商数组成一个表, 将数从大到小取, 直到取得的商数的个数等于总席位数, 统计出每个团体被取到的商数的个数, 即为该团体分得的席位数。

5 优缺点分析及改进从对模型的检验与分析可以看到，上面讨论的三个模型都有自身的不足：比例加惯例法满足公理一，却不满足公理二；Q值法满足公理二但不满足公理一；D’hondt法也不能解决对每个宿舍成员公平的大小问题；尾数法虽然满足公理一和二，但由于两个公理本身只满足Young公理体系的部分，也不尽完美。

优点：尾数模型打破Q值法的对绝对尾数的比较方法，以相对尾数来讨论，使得模型满足了Young公理体系中更多的公理，虽不尽完善，但相比之前的四种方法是很大的改进。

并且，这种对已有方法改进的思想很有启发意义。

改进：本文中只给出了尾数法对3个宿舍的名额分配程序，对不定数量宿舍的分配没能程序实现，是可以改进的。

6 模型的具体意义人生活在这个经济的社会，每个人或多或少都是一个经济人，即以自己最小的经济代价去获取自己最大的经济利益，但是经济人永无止尽的欲望与有限的资源发生了矛盾，因此人们都尽自己最大的努力使自己获得最大资源和利益。

如此，每个人都这样做，或多或少会引起其他人的不满，造成人与人之间和社会内部的矛盾，经过长久的博弈之后，人们决定让每个人都能得到一定的满足，但每个人也不能占尽全部利益！这就涉及到一个公平的问题。

我们知道绝对的公平是不存在的，那我们如何才能做到相对的公平？让每个经济人都得到满足，也满意这种资源的分配？这就是本文所要应用的具体意义。

参考文献[1]姜启源等数学建模[M]（第四版）北京高等教育出版社,2010.9：278—286.[2]岳林关于Q值法的一种新定义[J]. 系统工程.1995,13(4):70—73.[3]高尚席位分配的最大熵法[J].数学的实践与认识,1996,26(2):73—75.。