龙岩市级达标校2018 ~ 2019学年第一学期期末高教学质量检查
数学(文科)试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．下列命题中，正确的是（）
A．若a＞b，c＜d，则ac＜bd B．若ac＞bc，则a＞b
C．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b
2．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
3．若点P到直线y＝﹣1的距离比它到点（0，2）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
4．等差数列{a n}中，若a4+a7＝2，则（）
A．256 B．512 C．1024 D．2048
5．已知函数f（x）＝x3+mx2+mx+1既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣∞，0）
C．（3，+∞）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
6．下面四个条件中，使a＞b成立的一个必要不充分的条件是（）
A．a＞b﹣2 B．a2＞b2C．a3＞b3D．a＞b+2
7．若0＜α＜π，则y＝sinα的最小值为（）
A．2B．5 C．6 D．7
8．平面四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，则sin∠D＝（）A．B．C．D．
9．已知过抛物线y2＝x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则（）A．B．C．0 D．﹣1
10．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
11．如果P是椭圆1上的点，点Q，R分别在圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x﹣1）2+y2＝9上，那么|PQ|+|PR|最大值为（）
A．16 B．14 C．10 D．6
12．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若x＞0时，xf′（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞lnx+1的解集为（）
A．（0，）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e．+∞）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卡中.）
13．已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为．
14．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为．
15．数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，．……依此规律，这个数列前65项之和为．16．若长度为x2+4，4x，x2+8的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知命题p：函数y＝log a（x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1＞0对任意实数x恒成立．
（Ⅰ）若q为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧（￢q）”为真命题，求实数a的取值范围．
18．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
19．已知函数f（x）＝x2+2x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在曲线y＝f（x）上（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b n}是首项b1＝1，公比q＝3的等比数列，试求数列{a n b n}的前n项和T n．
20．设函数f（x）x3x2+bx+c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2．（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+4lnx，且g（x）在区间（1，3）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
21．椭圆C：＞＞的离心率为，且过点，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M作两条互相垂直的直线l1，l2，椭圆C上的点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，求的最大值，并求出此时P点坐标．
22．已知函数f（x）＝（ax2+x﹣1）e﹣x．
（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当a≥2时，．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．D
2．C
3．D
4．C
5D
6．“A
7．C
8．B
9．A
10．D
11．B
12．C
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卡中.）
1390°．
14．1．
15．175．
16．∵x2+8＞x2+4≥4x＞0，可得x2+8为最大边．
由于此三角形为钝角三角形，
∴cosθ＜0，化为：x2＜6，
∴由x＞0，解得x＜．
又∵x2+4+4x＞x2+8，解得：x＞1，
∴x的取值范围为1＜x＜．
三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（Ⅰ）因为命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1＞0对任意实数x恒成立为真命题，
所以a＝2或＞
＜
＜＜
综上所述：2≤a＜3………
（Ⅱ）因为“p∧（￢q）为真命题，故p真q假．
因为命题p：函数y＝log a（x+1）在定义域上单调递增，所以a＞1．………（7分）q假，由（1）可知a＜2或a≥3
所以＜或
＞
，，（9分）
所以实数a的取值范围为（1，2）∪[3，+∞）．………18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵．
由正弦定理，得（2分）
整理得2sin C cos A﹣sin B cos A＝sin A cos B，
∴2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C………
因为sin C≠0，所以，
又0＜A＜π，所以．………（6分）
方法二：由余弦定理得：（2分）化简整理得：b2+c2﹣a2＝bc………
即，
又0＜A＜π，所以．………（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：，
a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即b2+c2﹣bc＝7，………（8分）
又2b＝3c，
解得b＝3，c＝2．………
所以
19．（Ⅰ）因为点（n，S n）在曲线y＝f（x）＝x2+2x上，所以，当n＞1时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，满足上式，a1＝S1＝3．
所以：．
（Ⅱ）因为{b n}是首项b1＝1，公比q＝3的等比数列，
所以b n＝3n﹣1，log3b n＝n，故a n b n＝（2n+1）3n﹣1，
所以T n＝3×30+5×31+7×32+…+（2n+1）×3n﹣1，…①
3T n＝3×31+5×32+7×33+…+（2n+1）×3n，…②
﹣2T n＝3+2（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n，
﹣2T n＝3（2n+1）3n
＝﹣2n•3n，
所以T n＝n•3n．
20．（Ⅰ）f′（x）＝x2﹣ax+b，
由题意得解得：b＝0，c＝2，
（Ⅱ）∵g（x）＝f（x）+4lnx x3x2+2，
∴g′（x），
依题意，存在x∈（1，3），使不等式g′（x）＜0成立，
即x∈（1，3）时，a＞（）min，
令h（x），x∈（1，3）
则h′（x），
令h′（x）＝0，得x＝2．
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x∈（2，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x＝2时，h（x）取得最小值h（2）＝3．
所以实数a的取值范围是（3，+∞）．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，e，a2＝4c2＝4（a2﹣b2）a2＝4
所以椭圆方程为：．………
（Ⅱ）设P（x0，y0），因为l1⊥l2，则（7分）
因为，所以
（9分）
因为，
所以当时，取得最大值为，此时点P，
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），………（1分）
（ⅰ）当a＝0时，．
令f'（x）＞0，得x＜2；令f'（x）＜0，得x＞2；………（2分）
所以f（x）在（﹣∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．………
（ⅱ）当a＞0时，令f'（x）＞0，得＜＜；
令f'（x）＜0，得＜或＞；………
所以f（x）在，单调递增，在，和，单调递减．………
综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减；
当a＞0时，f（x）在，单调递增，在，和，单调递减．…（6分）（Ⅱ）当a≥2时，．………（8分）令，则．
当＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当＞时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；………（11分）所以g（x）．因此．………
方法二：
由（Ⅰ）得，当a≥2时，f（x）在，单调递减，在，单调递增，
所以当时，f（x）取得极小值；………（8分）
当x＞2时，ax2+x﹣1＞0，e﹣x＞0，f（x）＞0………
所以当时，f（x）取得最小值；………（11分）
而，所以当a≥2时，．………（12分）。