§11-3 幂 级 数一、函数项级数的概念1.定义 设函数列 I x x u i ∈,)( 表达式： )1()()()()(321+++++x u x u x u x u v 称为定义在I 上的(函数项)(无穷)级数如: +++++=-∞=-∑12111n n n x x x x+++++=+∑∞=nx a x a x a a nx a a n n n cos 2cos cos cos 21012. 收敛性I x ∈∀0，(1)成为)2()(10∑∞=n n x u 常数项级数可能收敛可能发散．若∑∞=10)(n n x u 收敛，称0x 是 (1)的收敛点；若∑∞=10)(n n x u 发散，称点0x 是 (1)的发散点.收敛域：收敛点的全体；发散域：发散点的全体.3.和函数123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++，∈∀x 收敛域()n s x ：函数项级数(1)的前n 项和，则在收敛域上有lim ()().n n s x s x →∞=()()()n n r x s x s x =-：函数项级数的余项(只有x 在收敛域上)(x r n 才有意义)，有.0)(lim =∞→x r n n2101n n n x x x x ∞-==+++++∑ ()1,1x ∈- 和函数 ()11s x x=- 二、幂级数及其收敛性1．定义 )3(2210 +++++n n x a x a x a a 其中常数i a ：幂级数的系数．例如∑∞=0n n x ，∑∞=0!1n nx n 等等。

2010200()()()nn a a x x a x x a x x +-+-++-+取 00n n n x x t a t ∞=-=⇒∑2．收敛性定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数∑∞=0n n n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数∑∞=0n n n x a 当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x ，使这幂级数发散．分析：(1)设级数∑∞=00n n n x a 收敛,由级数收敛的必要条件有0lim 0=∞→nn n x a ,于是M ∃，使得 .),2,1,0(0=≤n M x a nn这样级数(3)的一般项的绝对值.00000nnnn n nn n n n x xMx x x a x x x a x a ≤⋅=⋅=由等比级数的敛散性知0x x <时,∑∞=0n nn x a 收敛，即∑∞=0n n n x a 绝对收敛．(2)反证法．注1 由TH1知，若幂级数在0x x =处收敛，则),(00x x x -∈∀，都收敛；若在0x x =处发散，则对于[]00,x x - 外的任何x ，都发散．几何说明：推论 如果幂级数∑∞=0n n n x a 不是仅在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R 存在，使得当R x <时，幂级数绝对收敛； 当R x >时，幂级数发散；当R x -=与R x =时，幂级数可能收敛也可能发散． 3．收敛半径和收敛区间R ：幂级数(3)的收敛半径．幵区间(),R R -叫做幂级数(3)的收敛区间。

由Rx ±=处的收敛性可决定它的收敛域是(][R R R R R R ,,),,),(---或[]R R ,-之一.特殊情形：0=R ，+∞=R （这时收敛区间是),(+∞-∞）。

定理2 如果 ,lim1ρ=+∞→nn n a a 其中1,+n n a a 是∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞==∞+≠=.,0,0,,0,1ρρρρR例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间(1)13nn n nx ∞=∑解 11131lim ||lim 33n n n n n n a n a n ++→∞→∞+==, 故收敛半径为3R =.因为当1x =时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的; 当1x =-时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ,也是发散的, 所以收敛域为(-3, 3).(2) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n +∞=R 收敛区间是.),(+∞-∞ ()10:n n ex nx ∞-=∑ 0R ρ=+∞=(3)()2112nn nn nx -∞=-∑缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R211lim2n n n u x u ρ+←∞==211,2x x <<当时即级数绝对收敛,21.1,2x x 当时即级数发散;()n=11n x ∞=∑n －, ()-1n=11n x ∞=∑n －收敛区间是( (4)()11(1)1n n n x n ∞-=--∑ 令1-=x t ，上述级数变为()111n n n tn ∞-=-∑ 1,R = 收敛区间为(]0,2三、幂级数的运算1．四则运算设∑∞=0n nn x a 和 ∑∞=0n n n x b 分别在()R R ,-及),(//R R -内收敛，（1）加减法 ∑∞=±0)(n n n n x b a 在()R R ,-及),(//R R -中较小的区间内成立.（2）乘法（两幂级数的柯西乘积）)(2210 +++++n n x a x a x a a )(2210 +++++⋅n n x b x b x b b++++++=2021120011000)()(x b a b a b a x b a b a b a .)(0110 ++++-n n n n x b a b a b a 可以证明上式在()R R ,-与),(//R R -中较小的区间内成立．（3）除法： ++++++++nn n n x b x b x b b x a x a x a a 22102210,2210 +++++=n n x c x c x c c 这里设.00≠b 为决定系数,,,,,,210 n c c c c 可将∑∞=0n nn x b 与∑∞=0n n n x c 与相乘，并令乘积中各项的系数分别等于级数∑∞=0n n n x a 中同次幂的系数，即得：,,,201102210011000c b c b c b a c b c b a c b a ++=+==由这些方程就可以顺序地求出.,,,,,210 n c c c c相除后所得∑∞=0n n n x c 的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多．2.幂级数的和函数性质 ()R R x x a x s n n n ,,)(0-∈=∑∞=性质1 幂级数nnn a x∞=∑和函数()s x 在其收敛域上连续.性质2 )(x S 在区间()R R ,-内是可导的.且有逐项求导公式)5(,)()()(110///∑∑∑∞=-∞=∞====n n n n n n n n n x na x a x a x S其中R x <，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.反复应用上述结论 ： )(x S 在收敛区间()R R ,-内具有任意阶导数． 性质3 )(x S 在区间()R R ,-内是可积的.且有逐项积分公式∑⎰⎰∑⎰∞=∞==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000)(n x nn xn n n xdx x a dx x a dx x S )6(,101∑∞=++=n n n x n a其中R x <，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

例2 求下列幂级数的和函数(1)在区间()1,1-内求幂级数∑∞=+01n nn x 的和函数解 设和函数0()1nn x s x n ∞==+∑ 显然(0)1s =10()1n n x xs x n +∞==+∑并由)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n 01()ln(1).1xxs x dx x x ==---⎰当0≠x 时,有1()ln(1)s x x x=--.从而 1ln(1),01,()1,0.x x s x xx ⎧--<<⎪=⎨⎪=⎩ 由幂级数的和函数的连续性可知，和函数)(x S 在处是连续的．可验证：1lim ()lim[ln(1)]1n n s x x x→∞→∞=--=.求和函数经常与求等比级数的和相联系,一般：,n u n 若是的整式函数先遂项积分化为等比级数求和,再遂项求导得和函数;,n u n 若是关于的分式函数时先遂项求导化为等比级数求和,再遂项积分得函数; 练习：∑∞=-2)1(n nn n x ()()()()1ln 1s x x x x =--+小结：本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，会利用幂级数的分析性质求其和函数.。