三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral） ）
一. 用冲激信号表示连续时间信号 与离散时间信号分解的思想相一致， 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间 信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信 号的线性组合。 号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这 种关系： 种关系： u (t ) = t δ (τ ) dτ = ∞ δ (t − τ ) dτ ∫ ∫ 对一般信号 x (t ) ，可以将其分成很多∆ 宽度的区 段，用一个阶梯信号 x∆ (t) 近似表示x(t ) 。当 ∆→0 时， 有 x∆ (t ) → x(t )
若系统是时不变的，即：若δ (t ) → h(t )，则有: 则有: 若系统是时不变的，
δ (t −τ ) → h(t −τ ) 于是系统对任意输入 x(t ) 的响应
可表示为： 可表示为： y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t ) ∗ h(t )
−∞ ∞
表明: 系统可以完全由它的单位冲激响应 表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t ) 系统可以完全由它的 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积 分（The convolution integral）。 ）
1
k
0
...
0
k
n
1 例2： x(n) = ： 0
0≤n≤4 otherwise
α n h( n) = 0
x(k )
1
α > 1, 0 ≤ n ≤ 6
otherwise
h(n − k ) = α n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
① n < 0 时，
y ( n) = 0
n n k =0 k =0
卷积积分（ 二. 卷积积分（The convolution integral） ） 与离散时间系统的分析类似， 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统 对δ (t − τ )的响应为 hτ (t )，则该系统对 x(t ) 的响应可
∞ 表示为： 表示为： y (t ) = ∫ x(τ )hτ (t )dτ −∞
例1: x(t ) = e − at u (t ) , :
a>0
∞ −∞
h(t ) = u (t )
y (t ) = x(t ) ∗ h(t ) = ∫ x(τ )h(t − τ ) = ∫ e− aτ u (τ )u (t − τ )dτ
−∞ t ∞
=∫ e
0
− aτ
1 dτ = (1 − e − at )u (t ) a
k =−∞
∑ x ( k ) h( n − k ) ，
∞
h(n) h( −1) 1 h (0) 2 h (1) 0 h (2) 3 h (3) 1
x (0) x (1) x (2) x (3) 0 2 1 x( n) 1
1 y ( −1) 2 y (0) 0 y (1) 3 y (2) 1 y (3) y (4)
0 0 0 0
2 4 0 6
1 2 0 3
0 2 1 y (5) y (6)
优点： 优点： 计算非常简单。 计算非常简单。 缺点： 只适用于两个有限长序列的卷积和； ①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y (n)的封闭表达式。 一般情况下， 的封闭表达式。
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 连续时间 系统： 系统
2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具 由于 系统满足齐次性和可加性， 系统满足齐次性和可加性 有时不变性的特点， 有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析 的理论与方法奠定了基础。 的理论与方法奠定了基础。 基本思想： 基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性， 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合。 应的线性组合。
2.1 离散时间 离散时间LTI系统：卷积和 系统： 系统
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） ） 一. 用单位脉冲表示离散时间信号 离散时间信号中, 离散时间信号中,最简单的是 δ ( n) ,可以由它的线 性组合构成 u ( n) ，即：
h( n) = u ( n)
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) =
k =−∞ n n +1 k
∑
∞
x ( k ) h( n − k ) =
k =−∞
α k u (n − k )u (k ) ∑
∞
1−α u ( n) = ∑α = 1−α k =0
x(k ) = α k u (k )
1
h(n − k ) = u (n − k )
k =−∞
∑ x(k ∆)δ
∞
∆
(t − k ∆) ⋅ ∆
∆ → dτ
∑→ ∫
δ∆ (t − k∆) → δ (t −τ )
于是： 于是： x(t) =
x∆ (t) → x(t)
∫
∞
−∞
x(τ )δ (t −τ )dτ
表明： 表明：任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解成移位 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
x(τ )
1
u (t − τ )
u ( n) =
k =−∞
∑ δ (k ) = ∑ δ (n − k )
k =0
n
∞
对任何离散时间信号 x ( n) ,如果每次从其中取出 一个点，就可以将信号拆开来， 一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。 都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
问题的实质： 问题的实质： 1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成 研究信号的分解： 任意信号的基本信号单元， 任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的 线性组合来构成任意信号； 线性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。 如何得到 系统对基本单元信号的响应。 系统对基本单元信号的响应 作为基本单元的信号应满足以下要求： 作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 本身尽可能简单， 构成）尽可能广泛的其它信号； （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得。 系统对这种信号的响应易于求得
−∞ 0
x(t )
x∆ (t )
x(k∆)
0 ∆
k∆ (k + (t ) ，即：δ ∆ (t ) = 0
1 则有： ∆δ ∆ (t ) = 0 0<t <∆ otherwise
0<t <∆ otherwise
个矩形可表示为： 第k个矩形可表示为：x(k ∆)δ ∆ (t − k ∆) ⋅ ∆ 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号x∆ (t ) ， 即： x∆ (t ) = 当 ∆ → 0 时， k ∆ → τ
于是有：
x ( n) =
k =−∞
∑ x(k )δ (n − k )
∞
表明： 表明：任何信号x(n) 都可以被分解成移位加权的 单位脉冲信号的线性组合。 单位脉冲信号的线性组合。
sum） 二. 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 δ (n − k ) 的响应是 hk ( n) ， 的响应为： 由线性特性就有系统对任何输入 x(n)的响应为：