九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】本周教学内容： 圆中的计算问题 【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。

2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面 积及全面积。

【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。

【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思, 们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。

【教学过程】rn I 1.弧长公式： —— 180 注意：(1)在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数, 在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。

3,,”表示弧长，如弧长是可以用(2)在计算时，若题目中没有标明精确度，“.15等。

I 、n 、r 中的任意两个量都可以求岀第三个量。

)在弧长公式中已知(3 2.扇形:(1)定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

I 2r 。

(2)周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即2rn1S S lr 或3)面积：( -------- 36022 rnS 中的“ n ”与弧长公式中“ n 注意：①公式 ”的意义一样，表示“ 1°”圆心360角的倍数，参与计算时不带单位。

11IrSS ah 十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲 ② 与三角形面积公式 — —22看 作底边上的高。

r 边三角形，把弧长看作底，半径专心 爱心 用心.③注意二个公式的区别。

2rnS 。

、圆心角度数求 S ，用r女口：已知半径 ----- 3601S Ir l 。

S ,用 已知半径r 、弧长 求2S 、I 、n 、r 四个量中任意两个量，可以求岀另外两个量。

④已知：3. 圆柱的侧面积与全面积（1侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。

培养与他人合作能力，进一步发展我 如图:rh2S （r为底面半径，h为高）（2）柱侧S S 2S 3）（底全柱侧注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。

4. 圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

5. 圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线长。

如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a,则它的侧面积：1 ra S ra2 •—侧22 rSrra r a SS底全侧注意：①圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。

②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。

6. 阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。

【典型例题】专心爱心用心.的周长，求该圆弧所在圆6cm 一圆弧的圆心角为300 °，它所对的弧长等于半径为例1.的半径。

分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。

R解：设弧所在圆的半径为R300 62根据题意得: 180)cm2R 7.(解得:RnRI、n、I已知其中两个量，都可以求岀第三个中，三个量说明：弧长公式中 ____________ 1801与没有单位，R的单位要一致。

量，其中n，求图中阴影部分的面积。

例2.如图，正△ ABC内接于O 0，边长为4cmA的面积之差，所以关与△ 分析：连结OA、OC,阴影部分面积看作是扇形AOCAOC键是求O O的半径及/ AOC。

此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。

OC并延长交AC于E，连结OA、解：连结BOO ABC是正三角形且内接于O •/△ AC BE丄/•1cm 2ACAE — 2 ° AOE = 60 / AOC = 120 °，/ AEORt 二在中，4AE2 3cmOA -------------- 3sin 603 221cm 3OE OA—322 2 164120n3R S • ___________________________ AOC扇形3336036041213 CE 4 3S AC •——AOC 3322164 2 S 3cm S S 一AOC AOC阴扇391 S SS本题还可另解：一ABC 0阴影o 3专心爱心用心.例3.如图，O A、O B、O C、O D、O E相互外离，它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五扇形（阴影部分）的面积之和。

A EB D C分析：由已知可知图中每个扇形面积不能单独求岀，因为不知圆心角的度数。

仔细分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个内角，因此，可以利用“整体代入”法来完成。

2 RnS，得阴影部分面积为：解：由扇形面积公式360 22222 RRRRR • A • B • C • D • ES --------------------------------------------------------------- 阴360 360 360 360 360 2 Rn E DB A C ------------------------- 360 2 Rn 180 2 5 ------- 360 3 _ 2 说明：“整体代入”的方法是一种常用的、新颖的方法。

例4.如图，圆柱的高为50厘米，底面圆的周长为120cm，一只蚂蚁从A点岀发绕圆柱的侧面，爬到圆柱的母线AB的另一端B，求蚂蚁爬行的最短路线长。

分析：蚂蚁爬行的路线是一条曲线，如何求呢？若将圆柱的侧面沿母线AB展开，则蚂蚁爬行的路线即矩形上A到B的连线，由两点之间线段最短，可求得最短路线长。

AC 120BC 50厘米解：展开，则将圆柱侧面沿母线AB厘米，专心爱心用心.所以蚂蚁的最短路线长为130cm。

例5.在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，圆心角为90 °的扇形薄铁片围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时（接缝忽略不计），甲认为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB 的距离OC （如图），乙说这样计算不正确，你同意谁的说法？把正确的计算过程写岀来。

A解：2 AB的周长等于图（1）中的长因为在图（2）中，0 O' 190 • OA 0'21, O'A A •，OA 所以，---------------------- 418021522 'AOO' OA O 所以，24故：甲的说法不正确°，求圆柱的，/ CAB = 308 例6.若圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图，对角线AC =底面积。

°，可求岀矩形的边长。

圆柱侧面展开图是矩形，矩= 30,/分析：已知AC = = 8CAB形一边长为母线长，另一边等于底面圆周长。

ABC Rt 30 °，/ 中，AC= 8CAB 在解=专心爱心用心.1430 8 BC AC • si— 233 4 • cos30 8AB AC2R 设圆柱的底面半径为为母线长，则AB为底面圆的周长（1）若AD23 , RR 43 2 ____ 1234 2 R S ------------------------------- （2）若 AB为母线，则AD为底面圆的周长2 4, 2RR 一224 2 R S •一一412故圆柱的底面积为或一—说明：本题主要应理解圆柱的侧面展开图为矩形，相邻两边为母线长和底面圆的周长，因此在题目中没有指明哪一边为母线（或底面周长）时，该类型必有两种情况。

例7.如图，已知半圆的直径AB = 12厘米，点C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、CD 表示）AD和围成的阴影部分面积。

（结果用CDAOB分析：连OC、OD，则可证CD II AB，/ COD = 60°S S 贝0 CAD COD S S DO 阴扇形C 解：连OC、OD••• C、D是半圆的三等分点•••/ CDA =Z BAD，/ COD = 60 °••• CD II ABS S CODD CA2 660 • 6 SS （平方厘米） ---------- C OD扇阴360 说明：本题运用的方法叫等面积变换法，这是一个重要的方法。

例8.如图，在△ ABC中，/ C = 90°, AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆SS，则（为底面圆半径，锥的侧面积为，以BCAC为高的圆锥的侧面积为）21专心爱心用心.ACB S S SS A. B. 2211SS SS 的大小关系不确定 C. D. 2121S、S分析：分别算岀再进行比较。

21 ABS • • AC解： 1 ABS • • BC2BC ACS S21B选说明：圆锥也可以看做是直角三角形绕一条直角边旋转一周而成的图形。

射向地面的光的上空安装一个照明光源S，S例9.在半径为27米的圆形广场中央点OSOSAB 的顶角为120 ° （如图所示），求光源离地面的垂直高度束是圆锥形，其轴截面1414.2362 1732.，5 2.，3米）（，以上数据供参考）（精确到0.1SABO。

°,则/ BSO = 60 ° ,由此不难求SO 分析：BO = 27 米，/ BSA = 120 SB , / ASB = 120 解：在厶SAB中，SA = AB•/ SO 丄° BSO = 60AB••• O 为中点，且/ ASO = / ASO Rt 米在=27中，OA 36.27 3 159 • OA SO • cot ASO 27cot60（米） 3 15.6米。

光源离地面的垂直高度为答：说明：本题的实质是解Rt【模拟试题】选择题。

一.MN ）的长为（MN在半径为3的O O中，弦=3，贝9 1.3 2 C. D. A. B. ——22 360 ）扇形的周长为2. 16，圆心角为，则扇形的面积为（ _______ 专心爱心用心.16 D. A. 16 B. 32 C. 641，那么这个圆柱的侧面积是（厘米，底面半径是高的） 3.如果圆柱的高为20422 cm200cm100 A. B.22 cm500cm200 C. D.4. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是（）24153012B. D. A. C.5. 如图，ABCD是正方形，边长为a，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为（）44二.填空题。

1. 直径为12cm的圆，60°圆周角所对的弧的弧长为________________ 厘米。