函数极值与最值研究摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。

求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。

求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。

求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。

求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。

对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等，关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧．Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number ofvariables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。

不仅如此，函数极值理论在航海、保险价格策划、航空航天等众领域中也是最富变现性和灵和性，并起着不可替代的数学工具作用，许多实际问题最终都归结为函数极值和最值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的方式，表示为函数形式，而在求解具体问题时往往需要应用到极值和最值的求解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值和最值，是学习数学与其他学科的理论基础，是生活生产中的必备工具。

它为我们对于数学的进一步研究起到很大帮助；同时，它对于其它相关学科的理解、学习与应用也起着十分重要的作用，更对其他学科领域的展开有很大的促进作用。

函数的极值和最值不仅是函重要的基础性质,在实际经济活动中也有着重要的应用,对于不同类型的问题，我们应有一个系统而简便的方法，巧妙地运用进而达到熟练地掌握这些方法。

而恰恰这些方法的终极解决，都归结于对函数极值和最值的求解。

下面，就让我们做一些简单的归纳，研究函数的极值和最值，诠释一些方法和技巧，并附上具体的例子加以说明，让我们明白函数极值和最值的相关问题及在生活实际中的各种应用！目录摘要 (1)引言 (2)1 函数极值 (4)1.1 极值概述 (4)1.2 极值判断条件 (5)1.3 极值应用实例 (6)1.4 求极值思想方法总结 (10)2 函数最值 (11)2.1 函数最值概述 (11)2.2 函数最值求法................................. . (14)2.3 求函数最值思想方法总结.....................................（16）学习心得.. (17)致谢辞 (18)附录 (19)附录一组员名单 (19)附录二开题报告 (20)参考文献 (21)1 函数极值1.1 极值概述费尔马定理简单的描述就是：若函数)(x f y =在0x 点的某领域)(0x U 内有定义，且在0x 点可导，则0x 点为极值点0)(0'=⇒x f ．他的实质就是可导与极值点的必要条件是稳定点，但非充分。

1.2 极值判别条件1.2.1 一元极值判别条件(1)必要条件：费尔马定理 (2)充分条件.第一充分条件设函数)(x f y =在0x 点连续，在邻域),(00x x δ-和),(00δ+x x 内可导，则(i)在邻域),(00x x δ-上，0)('>x f ，在邻域),(00δ+x x 上，0)('<x f ，)287)(1(6)(22''+--=x x x x x f ,得0)0(,0)74(,0)1('''''=>=f f f ,8235436912)74(74-==f x 为极小点，极小值为所以又),4306035(6)(23'''-+-=x x x x x f 有非极值点所以1,0)1(,0)0(''''''=>=x f f ;再.0)0(0,0)0()4(==<f x f 为极大点，极大值为所以1.3.4 极值的第一充分条件例1.3.4 由一宽为cm 24的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解: 设折起来的边长为xcm ，倾斜角为α，那么梯形断面的下底长为x 224-，上底长为αcos 2224x x +-，高为αsin x ，则断面面积 ααsin )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-=即 ααααcos sin sin 2sin 2422x x x A +-=， D ：120<<x ，02πα<≤，下面是求二元函数),(αx A 在区域D ：120<<x ，02πα<≤上取得最大值的点),(αx 。

令 ⎩⎨⎧=-+-==+-=0)sin (cos cos 2cos 240cos sin 2sin 4sin 242222αααααααααx x x A x x A x 由于0sin ≠α，0≠x 上式为2122cos 0(1)24cos 2cos (2cos 1)0(2)x x x x αααα-+=⎧⎨-+-=⎩将212cos x x α-=代入（2）式得8x =，再求出1cos 2α=，则有0603==πα，于是方程组的解是0603==πα，cm x 8=在考虑边界，当2πα=时，函数2224x x A -=为x 的一元函数，求最值点，由0424=-='x A x ，得 6=x 。

所以722sin622sin 624)2,6(2=⨯-⨯=πππA ，833483cos 3sin 83sin 823sin 824)3,8(22≈=+⨯-⨯=πππππA 。

根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在区域D ：120<<x ，20πα<<内取得，通过计算得知2πα=时的函数值比060=α，cm x 8=时函数值为小，又函数在D 内只有一个驻点，因此可以断定，当cm x 8=，060=α时，就能使断面的面积最大。

1.3.5 偏导数法例1.3.5 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费1x （万元）之间的关系有如下经验公式：22212121528261415x x x x x x R ---++= ,广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。

解: 利润等于收入与费用之差，利润函数为：)()528261415(2122212121x x x x x x x x f +----++=22212121528251315x x x x x x ---++=根据极值存在的必要条件，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=--=∂∂01082504813212121x x x f x x x f得12351=x ，612=x ，即为驻点)61,1235(，利润函数在驻点处的Hesinn 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=10884222122212212x f x x f x x f x f A ，1.4 求极值思想方法总结.(1)求解函数极值的问题，由以上的例题求解一元函数，二元函数,以及多元函数极值的解答方法来看，求取极值的方法很多，但一般极值问题能用多种方法求解，具体极值问题得看具体情况，可以根据自己对方法掌握的程度来选择，由于求解极值的方法很多，我这里只是其中一部分，大多数的思想一致，少数思想比较特别。