数 学 试 题（理科）（考试时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 1．复数i34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是（ ）． A ．43-B ．43C ．34D ．34-2.设随机变量X 服从正态分布N （0，1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ） A ．p B ．1－p C ．1－2p D ．2p3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2086=+a a ，那么13S 的值是( ) A ．20 B ． 40 C ． 130 D ．260 4．下列结论错误的．．．是（ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; B ．命题:[0,1],1xp x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真;C ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．D ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题;5.已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，则“βα//”是“m l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示，其中 俯视图是一个菱形，则该几何体的体积 为（ ） A．3 B ．4 C ．D．7．已知角α的终边上有一点21(,)(0)4P t t t +>，则tan α的最小值为（ ） A ．12B ．1 CD ．28．某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25kg 按0.5元/kg 收费， 超过25kg 的部分按0.8元/kg 收费，计算收费的程序框图如右图所示，则①②处应填( )正视图 侧视图俯视图A ．0.8y x = 0.5y x =B ．0.5y x = 0.8y x =C ． 0.812.5y x =+ 0.8y x =D ．0.87.5y x =- 0.5y x =9．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个， 记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好 取5次球时停止取球的概率为( )A ．815 B ．8114 C ．8122 D ．812510．已知方程(1)(||2)4y x ++=,若对任意[,](,)x a b a b Z ∈∈，都存在唯一的[0,1]y ∈使方程成立；且对任意[0,1]y ∈，都有[,](,)x a b a b Z ∈∈使方程成立，则a b +的最大值等于（ ）A ．-2B ． 0C ．1D ． 2第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.()22xx e dx -=⎰ .12. 已知实数,x y 满足0,,260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2y x +的最小值等于 ．13.对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的标准方程为__________________。

14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知点D 是BC 边的中点，且21()2AD BC a ac •=-，则角B =________.15.函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x 、2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x xf x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ． 其中为恒均变函数的序号是 .（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）函数2()3cos sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？17. （本小题满分13分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤 的学生人数，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形， 且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.19. （本小题满分13分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ∆的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求SS S 21+的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()241x af x x -=+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;（Ⅱ）若()()4f m f n =-。

则当()()f n f m -取最小值时， （ⅰ）求实数a 的值；（ⅱ）若112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点，且存在实数()0,x a n ∈使得21021()()'()f x f x f x x x -=-，证明：210x x x <<.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2；矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4, 5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）若在矩阵M 的逆矩阵的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x+y 的值. （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，0r >).以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin 4πρθ+=（Ⅰ）写出圆心的极坐标，（Ⅱ）求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）设a a ∈≠R 且a 的大小．（Ⅱ）求函数y =福建省泉州一中2012年5月高三模拟质量检查数 学 试 题（理科） 参考答案与评分标准一、选择题：1-5：B B C D A 6-10:A B D B D二、填空题：11.25e - 12. 2 . 13. 1222=+y x 14. 3π 15. ①②三、解答题： 16．（本小题满分13分）函数2()3sin cos f x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π， （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）由x y sin =的图象，经过怎样的变换，可以得到()f x 的图象？解: （Ⅰ）．2()3sin cos f x x x x ωωω=+1cos 213sin 222x x ωω+=+……1分3sin(2)3x πω=++………………………………………………………………………3分∵()f x 的图像在y 轴右侧第一个最高点的横坐标为6π∴2632πππω⋅+=，解得12ω=………………………………………………………6分 ∴3()sin()3f x x π=+7分 （Ⅱ）将sin y x =的图象向左平移3π个单位,………………………………………10分 3个单位，就得到()f x 的图象。

……………………………13分17. （本小题满分13分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考 飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60 斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望. 解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ,则由条件可得:⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++++==15)013.0037.0(323211312p p p p p p p解得375.0,25.0,125.0321===p p p ………………………………………………4分又因为np 1225.02==，故48=n ……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为855)013.0037.0(3=⨯++=p p ………………………………………………………8分 所以x 服从二项分布,kk k C k x p -==33)83()85()(∴x0 1 2 3p51227 51213551222551212512分则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=Ex ………………………………13分 (或: 815853=⨯=Ex )18. （本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP =3．∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)A P D -, (3,2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB 中点，∴33(,1,)M ．∴33(,2,),(3,0,DM PA ==(0,2,0)DC =．∴3200PA DM ⋅=⨯=，0200(0PA DC ⋅=⨯+⨯=．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分(III)33(,0,),(3,1,0)CM CB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z =， 则0n CM ⋅=，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=，从而30y +=． ……②由①、②，取x =−1，则1y z ==． ∴可取(1,3,1)n =-．……………10分由(II)知平面CDM 的法向量可取(3,0,PA =，…………………………11分∴cos ,5||||5n PA n PA n PA ⋅<>===-．∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则ON AP ⊥，故AP MC ⊥而MC CD C =，则PA MCD ⊥平面……………………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知MC PAB ⊥平面，则NMB ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB ∆中，易得PA =PB ===cosAB PBA PB ∠===，cos cos()NMB PBA π∠=-∠=故，所求二面角的余弦值为.…………13分19. （本小题满分13分）设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x ，其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为π5. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆相交于B A ,两点,设直线OB l OA ,,的斜率分别为)0(,,,21>k k k k 其中.OAB ∆的面积为S ,以OB OA ,为直径的圆的面积分别为21,S S .若21,,k k k 恰好构成等比数列,求SS S 21+的取值范围. 解：(Ⅰ)由题可知，b a 2=且522=+b a ，解得：1,2==b a ，故椭圆的方程为：1422=+y x ………………………………………………………4分 (Ⅱ)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，由韦达定理有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k …………………………………6分 21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即：0)(221=++m x x km由韦达定理代入化简得：412=k . 0>k ，∴21=k ……………………………8分 此时0)2(162>-=∆m ，即)2,2(-∈m .故d AB S ⋅=||2122121||||121km x x k +⋅-+=||4)(2121221m x x x x ⋅-+=||22m m ⋅-=……………………………10分 又=+21S S )(422222121y x y x +++⋅π)24343(42221++⋅=x x π2]2)[(16321221ππ+-+⋅=x x x x 45π=为定值. ……………………………12分 ∴S S S 21+⋅=45π||212m m ⋅-⋅≥45π当且仅当1=m )2,2(-∈时等号成立. 综上：S S S 21+⋅+∞∈),45[π………………………………………………………13分20．（本小题满分14分）已知函数()241x af x x -=+在区间[],m n 上为增函数， （Ⅰ）若=0,=1m n 时,求实数a 的取值范围;（Ⅱ）若()()4f m f n =-。