证明不等式的基本方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握比较法、综合法和分析法、反证法和放缩法的方法； 教学难点： 理解放缩法的解题及应用。

1、比较法：所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1ab<”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。

2、分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。

3、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

4、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。

反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立；2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的； 4） 肯定原来命题的结论是正确的。

5.放缩法：放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强，必须恰到好处， 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。

类型一： 比较法、分析法和综合法去证明不等式 例1. 求证：x 2 + 3 > 3x解析：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 答案：见解析练习1. 已知a ， b ， m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++答案：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ，b ，m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 ， b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++练习2. 已知a ， b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 答案：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a ， b 都是正数，∴a + b ， a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2例2. 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： 解析：∵22c b +≥2bc ，a ＞0，∴)(22c b a +≥2abc ①同理 )(22a cb +≥2abc ②)(22b a c +≥2abc ③因为a ，b ，c 不全相等，所以22c b +≥2bc ， 22a c +≥2ca ， 22b a +≥2ab 三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=答案：见解析。

练习3. 已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++ 答案：左－右=2（ab +bc －ac ）∵a ，b ，c 成等比数列，∴ac b =2 又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =<0≤c a ca +<+2例3. 求证5273<+解析：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+展开得 2021210<+ 即 2521,10212<<因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立即证明了5273<+ 答案：见解析练习4. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 答案：(1)当0ac bd +≤(2)当0ac bd +>时，欲证原不等式成立， 只需证()()()22222ac bd a bcd +≤++即证2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++≤+++即证22222abcd b c a d ≤+即证()20bc ad ≤-因为,,,a b c d ∈R ，所以上式恒成立， 综合(1)、(2)可知:类型二： 反证法和放缩法证明不等式 例4. 若a ， b ， c ， d ∈R +，求证： 解析：（用放缩法）记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a ， b ， c ， d ∈R + ∴1 <m <2 即原式成立 答案：见解析练习5. 当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 答案：（用放缩法）∵n >2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴n > 2时， 1)1(log )1(log <+-n n n n例5. 设0<a ，b ，c <1，求证：(1 -a )b ，(1 -b )c ，(1-c )a ，不可能同时大于41解析：（用反证法）设(1 - a )b >41，(1 -b )c >41，(1 -c )a >41， 则三式相乘：(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641①又∵0 <a ，b ，c <1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a同理 41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c 将以上三式相乘 (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641此与①矛盾 ∴(1 -a )b ，(1 -b )c ，(1-c )a ，不可能同时大于41 答案：见解析练习6. 已知a +b +c > 0，ab +bc +ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0 答案：（用反证法）设a < 0， ∵abc >0， ∴bc < 0 又由a + b + c > 0， 则b +c >-a >0∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 此与题设矛盾 又 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证 b > 0， c > 0 1. 设a ， b ， c ∈ R ， （1）求证：)(2222b a b a +≥+ （2）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++（3）若a + b = 1， 求证：22121≤+++b a 答案：（1）∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2|2|222ba b a b a +≥+≥+ （2）同理：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++（3）由幂平均不等式：2.a ， b ， c ∈R ， 求证：（1）9)111)((≥++++cb ac b a (2)29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a (3) 23≥+++++b a c a c b c b a答案：(1)法一：33abc c b a ≥++， 313111abcc b a ≥++， 法二：左边)()()(3cbb c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++=≥3+2+2+2 = 9(2)∵3))()((23222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++3))()((13111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++两式相乘即得 (3)由上题：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a ∴29111≥++++++++a c b c b a b a c 即 23≥+++++b a c a c b c b a3. 求证：213121112222<++++n答案：（用放缩法）n n n n n111)1(112--=-< 4. 设x > 0， y > 0，y x y x a +++=1， yyx x b +++=11，求证：a < b答案：放缩法：yy x x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++111115. 若x ， y > 0，且x + y >2，则xy +1和y x+1中至少有一个小于2答案：反证法：设xy+1≥2，y x +1≥2 ∵x ， y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 设a ， b ∈ R +，求证：a b ba bab a ab b a ≥≥+2)(答案：作商：2222)()(b a a b b a b a b a ba baab b a ---+==当a = b 时，1)(2=-b a ba当a > b > 0时，1)(,02,12>>->-ba bab a ba当b > a > 0时，1)(,02,102><-<<-b a bab a ba2. 证明lg9•lg11 < 1答案：放缩法：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅3. 设0 < a ， b ， c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ， (2 - c )b ，不可能同时大于1 答案：反证法：(2 - a )c>1， (2 - b )a>1， (2 - c )b>1，则(2 - a )c (2 - b )a (2-c )b >1…① 又因为设0 < a ， b ， c < 2，(2 - a ) a 12)2(=+-≤aa ，同理 (2 - b ) b ≤1， (2 - c ) c ≤1，所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤14. 证明1)1(log )1(log <+-n n n n答案：放缩法：222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n5. 已知x >0，y >0，2x +y =1，求证：22311+≥+yx答案：22323)2(11+≥++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x yy x y x y x 即：22311+≥+y x 6. 求证3+<答案： 960+>>5456<成立∴7. 设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3b c a c a b a b c++≥+-+-+-答案：由不等式的对称性，不妨设a b c ≥≥，则a c b -+≤b a c -+≤c b a -+且20c a b --≤， 20a b c --≥8. 若a > b > c ，则0411≥-+-+-ac c b b a 答案：c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((121129.证明)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n 答案：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 10. 证明121211121<+++++≤n n n 答案：11111121221n n n n n n n ⋅≤+++≤⋅<+++11. 已知a ， b ， c > 0， 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3， n ∈R *)答案： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a ， b ， c > 0， ∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nnc b c a 122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ⇒ a n + b n < c n12. 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ） 答案： （1）当1>a 时，因为 11,110>+<-<x x ， 所以 )1(log )1(log x x a a +-- （2）当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x 所以 )1(log )1(log x x a a +--综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-． 13. 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a >答案： b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( 又∵0>ab b a ，14. 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 答案： ∵ 222a b ab +≥（当且仅当22a b =时取等号）两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，即：44222()22a b a b ++≥ （1） 又：∵ 222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+∴ 2224()()22a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 15. 已知a 、b 、c R +∈，1a b c ++=，求证1119.a b c++≥ 答案： ∵1a b c ++=∵2b a a b +≥=，同理：2c a a c +≥，2c b b c+≥。