点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--=Θ.22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 . 焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。

∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x（2）配方，得：.141)21(16122=-+y x .4141≤≤-∴x 127)61(341)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=∴x x x y x NP∴当41=x 时，41||min =；当61-=x 时，.621||max = 例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x kΘ直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-或k ＞22.∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y . （2）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+ΘOQ OP +与共线，∴OM 与共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知22=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 例3已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+F F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ……………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22a b x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-= ………② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例4 已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. （1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x . 原点O 到l 的距离：22222|00|==--=c cd ，∴1=c . 又33==a c e ，∴3=a . 从而2=b .∴3=a ， 2=b . （2）椭圆的方程为12322=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123422=+y x .…………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=OP ，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k AB -=⋅得：.321-=⋅-x y x y ∴)(3222x x y --=.………………………②由①和②解得：42,43±==y x . ∴当42,43==y x 时，21-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；当42,43-==y x 时，21=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .金指点睛1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）A. 23B. 32C.330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222=+by a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：由4222=+y x 得12422=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22a b x y k MN -=⋅得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(211--=-x y . 即32+-=y x . .21-=k由⎩⎨⎧+-==+324222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则65,22121==+y y y y . []330)3104(54)()11(||212212=-⨯=-++=y y y y kMN故答案选C.2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x yc x y -=⋅-， 整理，得：022222=-+cx b y a x b .∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .3．解：（1）Θ右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c .由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，∴22=a . ∴4222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程为14822=+y x .（2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x y k -=⋅，整理得：022=+ky a x b .Θa 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.4. 解：（1）Θ点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x .5. 解：（1）在双曲线12422=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.在抛物线y x 622-=中，6=p ，∴准线为26=y . ∴在椭圆中，262=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13922=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'l l ⊥. ∴km 1-=. 由2200ba x y k AB -=⋅得：300-=⋅x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①由1100+⋅-=x ky 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：23,200=-=y k x .又Θ200+=kx y ，∴2223+⋅-=kk ，即12=k . ∴1±=k .在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点.∴k 的值为1±.。