P' = P R R(q ) = -sinq cosq 0
0 0 cosq -sinq 0 0 cosq sinq 0 1 0 0 1
（旋转变换矩阵）
R-1 (q ) = sinq cosq
三、对称变换
– 关于x轴的对称变换
1 0 0 SYx 0 1 0 0 0 1
– 矢量和
u x vx U V u v y y u z vz
变换的数学基础(2/4)
– 矢量的数乘
kux k U ku y kuz
– 矢量的点积
U V u x vx u y v y u z vz
直线、圆生成算法的实现 多边形扫描转换与填充 颜色的改变，线型与线宽的设置 简单平面图形的设计 **简单动画设计
例如
• 奥运五环绘制与填充； • 字符的绘制与填充；
图形变换概述
• 图形变换是计算机图形学的基础内 容。 • 作用：
1. 二维图形的生成 2. 复杂的图形的生成（由简单图形变换） 3. 三维物体的二维表示
• 点的基本几何变换的推广 – 直线，多边形，曲线……
图形几何变换—按某种规律，改变图形的形状、大 小、位置等。
建立物体的 变换到 在VC空间
WC
VC
进行裁剪
投影到 NDC
变换到 DC 二. 图形变换的过程
在图形设备 上输出
二维图形的显示流程图
基本几何变换（二维）
旋转变换
y
(x’, y’) 对称变换
坐标变换
用户域
窗口区
4.1.2坐标的转换
用户Y
用户坐标
观察坐标
（X0, Y0）
0
用户X
观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）：
将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠
4.1 坐标系、窗口与视区（续） 4.1.3什么是窗口、视区？
1. 窗口
–
在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
“取景器”=窗 口
视区1 视区2 （viewport）
4.1 坐标系、窗口与视区（续）
4.1.4规格化变换 从窗口到视区的变换，称为规格化变换。 (Normalization Transformation) y wyT wyB o wxL wxR x y W(窗口区) (wx,wy) vyB o vx L vxR vyT (vx,vy) x V(视图区)
l m
P
X’ X
(l,m)
方法A 坐标系不动， 图形变动后坐标值变化
方法B 坐标系变化后 图形在新坐标系中的新值
本课程：变换方法的选择
选择A：坐标系不动，图形变动后坐标值变化
P P’
4.3.1 图形变换的特点 图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐 标，但图形的拓扑关系不变。 最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为： 平移变换 ： P′＝P＋Tm
( x, y)
x' x dx y ' y dy
请写出它的变换矩阵：
二、旋转变换
注意
旋转方向 旋转角度 旋转中心 旋转是刚体变换
y
q
P’ (x’, y’)
q

P(x, y)
x
- 推导：
方法：点P(x,y)的极坐标表示
• 旋转变换（续）
– 绕坐标原点旋转角度 q （逆时针为正，顺时针 为负）
• 性质
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
变换的数学基础(3/4)
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 2 U U U ux u y uz 2
U V cos q U V
– 矢量的叉积
i U V ux vx
窗口到视区（viewport）的转换 —实例推导
（VXR，VYT） （WXR，WYT） （Xv，Yv）
（Xw，Yw）
（WXL，WYB）
（VXL，VYB）
窗口区定义为（WXL，WXR，WYB，WYT），
视区定义为（ VXL，VXR，VYB，VYT ）
根据相似性原理，得出计算公式：
xw WXL xV VXL WXR WXL VXR VXL Yw WYB yV VYB WYT WYB VYT VYB
计算机图形学基础
第4章 二维变换
本章主要内容
• 窗口与视区
– 坐标系、窗口与视区
• 图形变换的数学基础 • 二维几何变换
– 基本变换、复合（组合）变换
• 二维图形的生成程序实现
目前为止，掌握的基本技能
• 基本绘图函数的使用：
– pDC->SetPixel – Cpen类（线型与线宽的设置）等
• • • • •
平行投影 透视投影
二维变换举例
旋转变换
y
(x’, y’) 对称变换
q
( x, y)
f
x
平行投影变换：三视图、轴测图
透视变换：区
• 4.1.1坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。 1.世界坐标系(World Coordinate System)
问题：都是二维几何变换，如何用统一 的向量(矩阵)表示？？
4.3.2 齐次坐标 —用n+1维向量表示n维向量
• 优越性
• 提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维 空间的点集从一个坐标系变换到另一个 坐标系的方法。 • 可以表示无穷远的点
4.3.2 齐次坐标
什么是齐次坐标表示？ ——用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的 方法。例如： 二维点P （x,y）（x,y为笛卡儿直角坐标）齐次坐标表示为: (h×x，h×y， h) h是任一不为0的比例系数。当h=1时，称为规格化齐次坐标。 反之， 给定一个点的齐次坐标表示: (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h)。 例如：有一个二维点的坐标（25，40）其齐次坐标为？？
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系）
• 物体的局部坐标系，物体的表示简单。
世界坐标系xoy
模型坐标系x’o’y’
3.用户坐标系(UCS) ：
• 为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标， 可以变换角度、方向等。
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础(4/4)
• 矩阵 – m n
– – – – – – – – –
阶矩阵
n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆
4.3 二维基本几何变换
• 点的变换：
– – – – – – 恒等变换 平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换
Tm＝[Mx My]
Mx、My分别为X方向和Y方向的平移量。
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。
旋转变换 P＇＝P×Tr
cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
– 关于y轴的对称变换
1 0 0 SYy 0 1 0 0 0 1
• 对称变换（续）
– 关于原点的对称变换
1 0 0 SO 0 1 0 0 0 1
– 关于y=x的对称变换
• 为什么需要齐次坐标？
多个变换作用于多个目标
变换合成
变换合成的问题 引入齐次坐标
变换的表示法统一
4.3.2齐次坐标
三维点P（x,y,z）：
同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间中对应的向 量即齐次坐标为(x×h，y×h，z×h，h)，其中h≠0。反之，？？
齐次坐标的概念可以推广到n维空间的向量。
4.3.3齐次坐标二维图形变换矩阵
一般形式： a b p c d q l m s
[ x´ y ´ 1 ] = [ x y 1 ]
P ´ = P • T2D 二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换。 S 是整体比例变换。 p,q 用于投影变换（三维投影变换时使用——非仿射变换）
4.2 图形变换的数学基础
• 矢量运算 • 行列式 • 矩阵
特别注意： 矩阵相乘不适合交换律
• 矩阵运算
• 单位矩阵 • 逆矩阵 • 转置矩阵
上机编程：实现矩阵的输入与输出； 实现两个矩阵相乘。
变换的数学基础(1/4)
• 矢量
u x U u y u z
vx V v y vz
x´=ax+cy+l y ´ =bx+dy+m （二维仿射变换:
p=q=0）
二维图形变换(只考虑仿射变换:
p=q=0)
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a b 0 [ x´ y ´ 1 ] = [ x y 1 ] c d 0 l m 1
P ´ =
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
4.设备坐标系
（左手法则）
显示器以分辨率确定坐标单位， 原点在左下角或左上角。