第四讲中心对称图形——平行四边形(复习)学习要点与方法点拨：一、复习《中心对称图形——平行四边形》这一章的概念（包括旋转、中心对称、平行四边形、矩形、菱形、正方形和三角形的中位线）和这些图形的性质以及判定方法；二、在掌握好基础知识后，进行知识延伸，补充延伸题型和解题思路，并学习综合各知识点的综合题的解题方法。

课前复习：1，旋转的概念，旋转的性质（3个）；中心对称的概念，中心对称的性质（2个，1，具有图形旋转的一切性质，2，两个图形对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分）；2，平行四边形的概念和性质（2个），平行四边形的判定方法（4个）；3，矩形的概念和性质（2个），矩形的判定方法（3个）；4，菱形的概念和性质（3个），菱形的判定方法（3个）；5，正方形的概念和性质（具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质），正方形的判定方法（3个）；6，三角形中位线的概念；三角形的中位线的性质（2个）。

模块精讲一、平行四边形的角平分线我们已经学习和平行四边形有四个重要的性质，那么，除了这四个性质外，平行四边形还有其他的隐藏技能吗我们学习的四个性质是初中阶段关于平行四边形的全部官方性质。

但是，它还有其他的隐藏技能，比如说角平分线。

A D 例1，如图在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC并交BC于E。

求证：△DCE是等腰三角形。

我们看到题目中有平行线和角平分线，就可以联想到等腰三角形。

由等腰三角形还可以解决一些线段长度 B E C的问题。

例2，平行四边形ABCD中，CD=10，BC=12，DE平分∠ADC，则BE的长为___________。

这两个例题是一个基础，如果，我们再画一条角平分线呢看下面这道题。

例3，如图，平行四边形ABCD中，CD=10，AD=12，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，交BC于F、E，则EF的长为_____________。

A D A D我们在扩展一些思路，在例1中，除了△CDE这个等腰三角形，我们还能构造其他的等腰三角形 F吗我们看右边这张图，把DE和AB分别延长，交于点F，你能看出还有几个等腰三角形吗特别提醒一下，关于三角形的角平分线构造出等腰三角形这个性质，不是官方认证的几何定理，我们在选择填空题中可以使用，但是，在解答题中，还是要一步一步写出步骤证明的。

我们再继续扩展思路，如果画出两条角平分线，还能得出什么新的结论吗例4，如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交DC于F，求证：四边形BEDF为平行四边形。

D F C A F DGA EB B E C解决了这个例题，我们可以得出一般结论，任何平行四边形的一组对角的平分线都是平行的吗答案是不一定，我们可以看一个特殊的例子。

所以，我们只能说：平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

我们解决了一组对角的平分线的情况，那如果是在两个邻角作平分线，能得出什么结论吗例5，如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BF平分∠ABC交AD于F，AE于BF相交于点G，求证：AE⊥BF。

我们这一节中，根据平行四边形的角平分线可以得出三个结论：①平行四边形的角平分线可以构造等腰三角形；②平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

③平行四边形的一组邻角的角平分线互相垂直。

攻略：两个对角的角平分线平行或重合平行四边形＋角平分线等腰三角形两个邻角的角平分线互相垂直二、坐标系中的平行四边形这一节我们学习平行四边形与坐标系结合的一些题型。

例6，如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则B点的的坐标是由平行四边形的性质：对边平行且相等OC平移到AB再利用平移的性质，O(0,0)平移到A(3,1) 对应B(1,2)平移到( , )那么，利用另外两组对边呢例7，已知平行四边形的三个顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则第四个顶点的坐标是______________。

大家先思考一下这个题目和例6是一样的吗思路：先确定对角线，再分类讨论。

每个可能的对角线可以确定一个顶点的坐标。

例8，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(2,3), (3,1), (1,2)，则第四个顶点D的坐标是多少A, ( 0, 4 ) B, ( 4, 2 ) C, ( 2, 0 ) D，以上都是我们已经学习了平行四边形的顶点坐标的求法，现在我们把思维在扩展一下，平行四边形的四个顶点的坐标还能得出什么性质吗我们先看例8中的平行四边形ABCD的四个顶点，坐标分别是A(2,3), B(3,1), C(1,2)，D(0,4)。

当这四个点的位置确定后，我们有：A、B两点的横纵坐标之差 = C、D两点的横纵坐标之差简写为A - B = C – D移项得A + C =B + D这个等式可以理解为：平行四边形在坐标系中，相对的两个顶点的横坐标(或纵坐标)之和相等。

这样我们在计算第四个顶点的坐标是就非常方便了，比如例8，我们可以得到方程：横坐标：纵坐标：即第四个顶点D的坐标为( 0, 4 )总结一下，在这一节中，我们学习了：利用平行四边形的性质＋平移的性质 = 第四个点的坐标我们还推到出了一个结论，也就是 A + C = B + D。

在做选择题和填空题时，可以利用这个结论，快速得出第四个顶点的坐标。

另外，当四个的的位置，也就是顺序，不明确时，需要分3种情况讨论。

三、判定平行四边形1，判定平行四边形之全等我们在判定平行四边形时，经常用到的就是证明边或者角相等，而要证明两个边或者角相等最常用的就是利用全等三角形。

例9，如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB = CD，线段AE与线段DF平行，AE = DF，求证：四边形EBFC是平行四边形。

D CE FA C D OB E例9图 A BF 例10图△ABE ≌△DCF △AEC ≌△DFB这道题条件比较明显，我们再看一道条件比较隐蔽的题。

例10，如图，DE⊥AC，BF⊥AC，DE = BF，∠ADB = ∠DBC，求证：四边形ABCD是平行四边形。

①对角线②一组对边总结：利用全等三角形是判定平行四边形的常用方法。

但是，一般过程比较复杂一些。

2，判定平行四边形之对角线有时我们也可以抛弃全等三角形，使用一些更简便的方法。

例11，如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别连接AF、BE交于G，连接CE、DF交于点H，连接EF、GH。

证明：EF于GH互相平分。

A E D D CFG HEB FC A B例11 图例12 图例12，如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的点，且AE = CF，连接DE、DF、BE、BF。

证明：四边形BFDE是平行四边形。

你是不是一下子就想到了全等三角形。

那如果这道题，不用全等三角形，还有什么简便的方法吗四、直角三角形斜边上的中线与三角形的中位线的综合我们知道：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

这个是任何一个直角三角形都具有的性质。

如果要证明这个性质，我们之前的证明方法是：将中线延长，利用全等三角形来证明。

现在我们学习了矩形的性质后，由矩形的性质就很容易得出这个结论了。

例13，如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，AH为BC边上的高，连接DE、FE、DH、FH。

求证：∠DHF = ∠DEF。

A B E H CD FD F A例13图PB H EC 例14 图首先，∠DEF = ∠BAC，再由两个直角三角形例14，如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA边的中点，AH ⊥ BC于H，△PDF为等边三角形。

求证：△PDE ≌△PFH。

思路：线段的中点→中位线→平行且等于底边的一半垂直＋中点→直角三角形斜边中心→利用中位线和斜边中线进行线角转化课后巩固习题1，在平行四边形ABCD中，AB = 12，BC = 8，BE平分∠ABC，交CD于E，则DE = __________。

2，如图，在平行四边形ABCD中，AB = 9，BE平分∠ABC，交CD于E，交AD的延长线于F，且DF = 3，则BC = ___________。

A B A BDE C D EF CF 题2图题3图3，如图，在平行四边形ABCD中，AB = 12，BC = 8，BE、AF分别平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F，则EF = __________。

4，如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，DF平分∠ADC，交AB于F，AE与DF交于点G，且BC = 4，则下列说法中错误的是（）A，AF = 4 B，CE = 2 C，AE⊥DFA FB A G BG KHD E C D E F C题4图题5图5，如图，在平行四边形ABCD中，BE、AF分别平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F， BE、AF交于H，CG平分∠BCD，交AB于G，交BE于K，则下列说法错误的是( )A，CG = CB B，AF ∥ CG C，BG = CE D，BE ⊥ CG6，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(1,4)、(-2,1)、(2,2), 则D点的坐标是( )A, (6, 5) B, (5，5) C, (7, 5) D，(6, 6)7, 平行四边形的顶点A、B、C的坐标分别是(1,4)、(-2,1)、(2,2), 则第四个顶点D的坐标不可能是( ) A, (-1, -1) B, (5, 5) C, (-3, 3) D, (-1, -2)8，如图，平行四边形ABCD，链接BD，过A做AE ⊥ CD于E，交BD于G，过C作CF ⊥ AB于F，交BD于H，连接AH、CG，求证：四边形AHCG为平行四边形。

A FB FD CHG BAD E C E题8图题9图9，如图，平行四边形ABCD，分别延长DB、BD至E、F，是BE = DF，连接EA、EC、FA、FC。

求证：四边形AECF是平行四边形。

10，如图，三角形ABC中，AB = AC，点D在AB上，过点D做BC的平行线，于AC交于点E，点F在BC上，且EF = EC。

求证：四边形DBEF是平行四边形。

A AD EEF题10 图题11图11，如图，在△ABC中，CE ⊥ AB于E，BF ⊥ AC于F，M为BC的中点，且EF = 7， BC = 10，则△EFM 的周长为_________。

12，如图，在五边形ABCDE中，∠ABC = ∠AED = 90°, ∠BAC = ∠EAD，点F、G、Q分别为边CD、AC、AD的中点。

求证：△BGF ≌△FQE 。

AG Q EBC F D题12图13，如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是___________ 。