第七节测量旗杆的高度测量金字塔的高度－测量旗杆的高度古希腊数学家、天文学家泰勒斯（Thales，约前625~前547）在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想.它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃，在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学题具有充分的说服力，令人深信不疑.证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯就是几何学的先驱.他把埃及的地面几何演变成平面几何学，并发现了许多几何学的基本定理，如“直径平分圆周”“等腰三角形底角相等”“两直线相交，其对顶角相等”“对半圆的圆周角是直角”“相似三角形对应边成比例”等，并将几何学知识应用到实践当中去.据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能准确地测出它的高度.有不少人作过很多努力，但都没有成功.一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题.泰勒斯很有把握的说，可以，但有一个条件——法老必须在场.第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓.秦勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上.每过一会儿，他就让人测量他影子的长度，当测量值与他身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离.这样，他就报出了金字塔确切的高度.在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理.也就是今天所说的相似三角形定理第九课时●课题§测量旗杆的高度●教学目标（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.●教具准备投影片一:（记作§ A）投影片二:（记作§ B）投影片三:（记作§ C）投影片四:调查数据表.（记作§ D ） ●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题 ［师］今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］对应角相等,两三角形相似;对应边成比例,两三角形相似;有两组对应边成比例且其夹角相等,两三角形相似.Ⅱ.新课讲解［师］好,外边阳光明媚,天公做美,助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度.首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§ A ）图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－36）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC =EAADBA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2. 乙组:利用标杆.（出示投影片§ B ）图4－35如图4－35，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB 由DG DH GC FH =得GC =DHDGFH ⋅ ∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD . ［同学A ］我认为还可以这样做.过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明 △DHF ∽△FMC ∴由DHMFH MC =可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF . 乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图4－36［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§ C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB 与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC =AEADEB ⋅. ［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.［同学们紧张有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性. （出示投影片§ D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论. 1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功. 2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=C B BC'' 于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）.即该建筑物的高度是16 m.Ⅳ.课时小结这节课我们通过分组活动，交流研讨，学会了测量旗杆高度的几种常用方法，并且明白了它的数学原理——相似三角形的有关知识，初步积累了一些数学建模的经验.Ⅴ.课后作业习题1.以组为单位完成一份实践报告.附：习题答案与提示：2.小树高4 m.3.参考方案：选取罪犯直立时的影像并量取长度，再选当时室内一参照物并量取参照物实际高度和它影像的高度，由罪犯实际身高∶罪犯影像长=参照物实际高度∶参照物影像高度.可得罪犯实际身高.Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计6.探索三角形相似的条件7.测量旗杆的高度作业导航通过探索三角形相似的条件，理解并掌握三角形相似的判别方法，会利用相似三角形的有关知识解决日常生活和生产建设中的实际问题.一、选择题1.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，图中与△ADE相似的三角形有( )图1个个个个2.下列能使三角形一定相似的是( )A.两边对应成比例的三角形B.两边分别成比例的直角三角形C.两边对应成比例的等腰三角形D.两直角边对应成比例的直角三角形3.如图2，下列条件不能判别△ACD∽△ABC的是( )图2A.∠ADC =∠ACBB.∠ACD =∠B=AD ·ABD.CDADBC AC4.已知线段AD 、BC 相交于点O ，OB ∶OD =3∶1，OA =12 cm ，OC =4 cm ，AB =30 cm ，则CD 等于( )cm cm cmcm5.已知在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若BC =5，CD =3，则AD 等于( )二、填空题6.如图3，在△ABC 中，若∠A =90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，则图中与△ABC 相似的三角形有________________.图37.已知：在△ABC 和△DEF 中，AB =8，BC =6，AC =4，DE =12，EF =18，DF =24，则 △ABC 和△DEF 的关系是________，根据是________________.8.如图4，△ABC 中，AB =9，AC =6，点D 在AB 上，且AD =3，点E 在AC 上，如果连接DE ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE =________.图49.如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，MN ⊥AB 于M ，AM =8 cm ，AC =54AB ，则AN =________.图510.如图6，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，(1)当BD 与a 、b 之间满足关系式________时，△ABC ∽△CDB ;(2)当BD 与a 、b 之间满足关系________时，△ABC ∽△BD C.图6三、解答题11.如图7，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP =3PC ，Q 是CD 的中点，那么 △AD Q 与△Q CP 相似吗？为什么？图712.已知：如图8，ABCD中，F是BC延长线上一点，连接AF交CD于E点，若AB=a，AD=b，CE=m，求BF的长.图813.△ABC中，∠C=90°，BC=8 cm，AC∶AB=3∶5，点P从点B出发，沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1 cm/s的速度移动，若P、Q分别从B、C同时出发，经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.*14.在河的两岸有对应的A、B两点，请你利用相似形的有关知识设计一个方案测量并求出AB的距离.你能想出几个测量方案吗？参考答案一、二、6.△AGF △DBG △EFC7.△ABC ∽△DEF 三边对应成比例的两三角形相似 或 cm =a b 2BD =ab a b 22-三、11.△AD Q ∽△Q CP==AD QD QC PC 21∠D =∠C =90° 12.ma ab- 13.第秒或21110秒时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. 14.略§ 测量旗杆的高度班级：_______ 姓名：_______一、请你填一填（1）某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为________米.（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高________米.（3）如图4—7—1，若OA ∶OD =OB ∶OC =n ，则x =________（用a ,b ,n 表示）.图4—7—1二、认真选一选（1）如图4—7—2，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降米时，长臂的端点升高________米（）图4—7—2 （2）一个地图上标准比例尺是1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为（）平方千米（）（3）如图4—7—3，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）图4—7—3⊥AF∶A F=2∶1=FH·FE∶FC=HB∶EC三、用数学眼光看世界如图4—7—4，要测一个小湖上相对两点A、B的距离，要求在AB所在直线同一侧岸上测.小明采取了以下三种方法，如图4—7—5，4—7—6，4—7—7.图4—7—4（1）请你说明他各种测量方法的依据.（2）根据所给条件求AB的长.方法一：已知BC=50米，AC=130米，则AB=________米，其依据是_____________.图4—7—5方法二：已知AO∶OD=OB∶OC=3∶1,CD=40米，则AB=________米，其依据是_____________.图4—7—6方法三：已知E、F分别为AC、BC的中点，EF=60米，则AB=________米，其依据是_____________.图4—7—7参考答案§ 测量旗杆的高度 一、（1） （2） （3）2nba 二、（1）C （2）B （3）C三、方法一：AB =120米，△ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得AB 长. 方法二：AB =120米，△AOB ∽△DOC 则对应边成比例.方法三：AB =120米，EF 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得EF =21AB .。