导数的综合应用题 编稿：赵 雷 审稿：李 霞【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题。

2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题。

3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题。

4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【要点梳理】 要点一、有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上 ②切点在曲线上③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。

要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。

要点二、有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数。

要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤。

（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤。

② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。

（或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使）max (,)0f x m ≤） 要点三、函数极值、最值的问题1.函数极值的问题 ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： （1）先求出定义域（2）一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；若由负变正，则该点为极小值点。

注意：无定义的点不用在表中列出（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。

2.函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。

②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四、优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决。

我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。

利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2) 求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释1．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：2. 得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．【典型例题】类型一： 利用导数解决有关切线问题例1. 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 【思路点拨】点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 【解析】曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．【总结升华】此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 不在曲线上，应先设出切点，然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值。

举一反三：【变式】求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 【答案】设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 类型二： 利用导数解决有关函数单调性的问题 【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3】 例2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)。

(Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。

【思路点拨】(Ⅱ)求出导数(1)'()1x kx k f x x+-=+后，主要根据(1)x kx k +-的正负进行分类讨论。

【解析】（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1'()121f x x x=-++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3ln 2(1)2y x -=- 即 322ln 230x y -+-=（II ）(1)'()1x kx k f x x+-=+，(1,)x ∈-+∞.当0k =时，'()1xf x x=-+.所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210kx k-=>所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)kk-上，'()0f x <故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)kk-+∞，单调递减区间是1(0,)kk-.当1k =时，2'()1x f x x=+故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)kx k-=∈-，20x =.所以没在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk- 【总结升华】（1）解决此类题目，关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤，若'()f x 中含有参数，须分类讨论。

（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域。

举一反三：【变式1】 若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间. 【答案】13)(2+='ax x f（1）当0>a 时，则()10f x '≥>()x R ∈，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾；（2）当0=a 时，则()10f x '=>，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾； （3）当0<a 时，则21()3()3(3f x a x a x x a '=+=+- 由0)(<'x f 得a x a x 3131->--<或，由0)(>'x f ，得ax a3131-<<--∴综上可知，当0<a 时，)(x f 恰有三个单调区间：减区间),31(),31,(+∞----∞aa；增区间)31,31(aa---【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题1】 【变式2】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是（ ）【答案】C首先易判断函数为奇函数，排除A ，求导后解导数大于零可得周期性区间，从而排除B 、D,故选C.类型三：利用导数解决函数极值、最值的问题例3.设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； 【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【总结升华】1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。