新北师大版八年级数学下册第一章证明（二）辅导资料第一节等腰三角形知识回顾：复习证明全等三角形的判定方法等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角，也就是说，在同一个三角形中，；（2）、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合，简称等腰三角形。

等腰三角形有下面的判定方法：（1）、依据三角形定义：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。

（2）、依据定理：如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形。

简单地说：在同一个三角形中，；3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。

有三边相等的三角形叫做三角形，也叫三角形。

4、等边三角形的内角都，且等于；等边三角形是图形5、等边三角形的判定方法：（1）有边相等的三角形叫做等边三角形；（2）有角相等的三角形叫做等边三角形；（3）有个内角都等于600的三角形叫做等边三角形；（4）有个内角等于600的三角形叫做等边三角形。

典型例题：1、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为。

2、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为。

3、等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为3、如果等腰三角形的顶角等于36°，则底角等于_________度；如果底角等于36°，那么顶角的度数为_________．4、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形．5、等边三角形的三个内角的度数分别为_______.6、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.7、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.8、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.9、如图，，交BC于点D，，那么BC的长为_________.10、如图，在中，D是AC上的一点，且，，则 _______， ______， ________.11、如图，已知：在中，，，BD是的角平分线，求的度数.12．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o ，求这个三角形的三个内角的度数．13.如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。

求证：AD = BC 。

14．如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ∠BAC = 100°。

求∠1、∠3、∠B 的度数。

15．如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠C = 29°，求∠A 。

A BCDE F321ABCDDCBAD CBADBAF E 12能力提升 填空：（1）如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD 。

请找出所有的等腰三角形 。

（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。

（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 。

（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

2、如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC 。

求证：∠1 =∠2。

E ABCD3．如图，A 、B 、F 、D 在同一直线上，AB=DF ， AE=BC ，且AE ∥BC. 求证：⑴△AEF ≌△BCD ， ⑵EF ∥CD.经典证明题：1、如图，ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE 。

求证：ABC ∆是等腰三角形。

2、如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。

EABCDE ABCD3、如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE= CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。

求证：AD ⊥BC 。

4、 已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E 。

求证：△ADE 是等边三角形。

E ABCD5、如图，△ABC 是等边三角形，BD = CE ，∠1 =∠2。

求证：△ADE 是等边三角形。

6、如图，在Rt ABC 中，∠B = 30°，BD = AD ，BD = 12，求DC 的长。

练习： 填空：21EABCD CB AD 30°（1）如图1，BC = AC ，若 ，则△ABC 是等边三角形。

（2）如图2，AB = AC ，BC ⊥AD ，BD = 4，若AB = ，则△ABC 是等边三角形。

（3）如图3，在Rt ABC 中，∠B = 30°，AC = 6cm ，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。

图1 图2 图3 2、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD 。

3、填空：（1）如图1，AB = AC ，AD 是△ABC 的一条中线，AB = 5，若BD = ，则△ABC 是等边三角形。

（2）如图2，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，AB ＝14，则AD = 。

CBA ABCDABCABCDD CB ABACD图1图24、已知：ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，︒=∠30A ，AB = 40，求DB 的长。

5、在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求：AB 的长6、如图，AB=AC ，O 是BC 的中点，OD ⊥AB 于D,OE ⊥AC 于E ， 请用两种方法说明 OD= OEA BCD7、如图，已知AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.△ABD 是等腰三角形吗请你说明理由.8、 如图，已知等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，（1）求证：△ABD ≌△BCE （2）求∠APE 的度数。

9．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短试在图中确定水泵张村李庄lAB站的位置．第二节直角三角形知识回顾：1.勾股定理的内容：_________________ 。

2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17 ②4，5，6 ③7，，④ 24，25，7 ⑤ 5，8，103.把命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等。

”的条件和结论交换位置：如果____________ ，那么__________ 。

此命题是____命题.知识点1、直角三角形的两个锐角互余。

（性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。

（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

练习：1、说出下列命题的逆命题,并判断原命题与逆命题的真假:（1）四边形是多边形; （）_______________________( )（2）两直线平行,同旁内角互补; （）_______________________( )（3）如果ab=0,那么a=0,b=0. （）_______________________( )2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20CM，则两直角边为 .4. 已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______.5. 小明将长2.5M的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7M，如果梯子的顶端垂直下滑0.4M，那么梯子的底端B 将向外移动多少米.练习：选择题1．下列命题中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补2．若三角形三边长之比为1∶3∶2，则这个三角形中的最大角的度数是（）A．60°B．90°° D．150°3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）A．3∶1∶2 B．1∶2∶3C．1∶3∶2 D．2∶1∶34．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等5．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．6、如图，BA ⊥DA 于A ，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA ∥DC 。

7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a ，则a =__________。

8、已知：如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =59。

（1）求DC 的长；（2）求AD 的长；（3）求AB 的长；（4） 求证：△ABC 是直角三角形.9、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。

10、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

D CBA129151）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；11、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低最低造价是多少12、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DE C=60°，AB=3，CE=4，则AD等于。

13 、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

CADB14、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD ，E 是AB 上的一点。

求证：CE = DE 。

15、填空：.如下图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90°。

（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.CBADE16、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB。