高考数列专项大题与答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数列大题专项1.(北京卷)设数列{a n }的首项a 1=a ≠41,且11为偶数21为奇数4nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩, 记2114n n b a -=-,n ==l ,2,3,…·.(I )求a 2,a 3;(II )判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论; (III )求123lim()n n b b b b →∞++++.2.(北京卷)数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,113n na S +=,n =1,2,3,……,求 (I )a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式; (II )2462na a a a ++++的值.3.(福建卷)已知{n a }是公比为q 的等比数列,且231,,a a a 成等差数列.(Ⅰ)求q 的值; (Ⅱ)设{nb }是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n ,当n ≥2时,比较S n 与b n 的大小,并说明理由.4. (福建卷)已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列,如当a =1时,得到无穷数列:.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a(Ⅰ)求当a 为何值时a 4=0;(Ⅱ)设数列{b n }满足b 1=-1, b n+1=)(11+∈-N n b n ,求证a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n };(Ⅲ)若)4(223≥<<n a n ,求a 的取值范围.5. (湖北卷)设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-=(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;(Ⅱ)设nnn b a c =,求数列}{n c 的前n 项和T n .6. (湖南卷)已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列,且.9,331==a a (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a7. (江苏卷)设数列{a n }的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+,,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值;(Ⅱ)证明数列{a n }为等差数列;(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立.8. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ,前n 项和为n S ,且0)12(21020103010=++-S S S 。
(Ⅰ)求{}n a 的通项; (Ⅱ)求{}n nS 的前n 项和nT 。
9. (全国卷Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。
(Ⅰ)求q 的取值范围;(Ⅱ)设1223++-=n n n a a b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,试比较n S 与n T 的大小。
10. (全国卷II) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列,1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列.又21nn b a =,1,2,3,n =.(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列;(Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于724,求数列{}n a 的首项1a 和公差d .答案1.(北京卷)解:(I )a 2=a 1+41=a +41,a 3=21a 2=21a +81;(II )∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1-41=a -41, b 2=a 3-41=21(a -41), b 3=a 5-41=41(a -41), 猜想:{b n }是公比为21的等比数列·证明如下: 因为b n +1=a 2n +1-41=21a 2n -41=21(a 2n -1-41)=21b n , (n ∈N *)所以{b n }是首项为a -41, 公比为21的等比数列·(III )11121(1)12lim()lim2()1141122nn n n b b b b b a →∞→∞-+++===---.2.(北京卷)解:(I )由a 1=1,113n na S +=,n=1,2,3,……,得 211111333a S a ===,3212114()339a S a a ==+=,431231116()3327a S a a a ==++=,由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=(n ≥2),得143n na a +=(n ≥2),又a 2=31,所以a n =214()33n -(n∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥;(II )由(I )可知242,,,n a a a 是首项为31,公比为24()3项数为n 的等比数列,∴2462n a a a a ++++=22241()1343[()1]43731()3n n -⋅=--3.(福建卷)解:(Ⅰ)由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即.012,021=--∴≠q q a .211-=∴或q(Ⅱ)若.2312)1(2,12nn n n n S q n +=⋅-+==则当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当4. (福建卷)(I )解法一:,11,11n n a a a a +==+.0.11111.1111.1111,.}{.11,1,1:)(.032.32,11.21,11.1,011,0:.032.12231111211,1111111212123112111422233344342312=∴-==+=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=-==-=-=∴+==∴+=-=∴=+∴==-=++=+=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n nn n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当故a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n }5. (湖北卷)解:(1):当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4121111---=⨯-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即(II ),4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c]4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+=+++=∴--两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T6. (湖南卷) (I )解:设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=nn a (II )证明因为n nn n n a a a 2121111=-=-++, 所以nn n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+ .1211211212121<-=-⨯-=n n7. (江苏卷)解:(Ⅰ)由11a =,26a =,311a =,得11S =,22S =,318S =.把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+,得28,248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩解得,20A =-,8B =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,115()82208n n n n n S S S S n ++---=--,即11582208n n n na S S n ++--=--,①又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-.②②-①得,21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-,即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-.③又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-.④④-③得,321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=, ∴32120n n n a a a +++-+=,∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=,又215a a -=,因此,数列{}n a 是首项为1,公差为5的等差数列.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,54,()n a n n *=-∈N .考虑 55(54)2520mn a mn mn =-=-.21)11m n m n m n a a a a a a =++++2515()9m n m n =-++.∴251)15()291522910mn a m n -+-⨯-=>.即251)mn a >1.1.8. (全国卷Ⅰ)解:(Ⅰ)由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅ 因为>n a ,所以 ,121010=q 解得21=q ,因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n(Ⅱ)因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列,故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--=则数列}{n nS 的前n 项和),22221()21(2n n nn T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减,得 122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T9. (全国卷Ⅰ)解:(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列,.0,0,011≠>=>q S a S n 可得当;0,11>==na S q n 时 1(1)11,0,0,(1,2,)11n nn a q q q S n q q --≠=>>=--当时即上式等价于不等式组:),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧<-<-n q q n ①或),2,1(,01,01 =⎩⎨⎧>->-n q q n ②解①式得q>1;解②,由于n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是).,0()0,1(+∞⋃- (Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)23(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(21(-+=q q S n又∵n S >0且-1<q <0或q >0 当112q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当122q -<<且q ≠0时,0n n T S -<即n n T S < 当12q =-或q =2时,0n n T S -=即n n T S =10. (全国卷II)(I)证明:∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列 ∴22lg a =1lg a +4lg a ,即2214a a a =又设等差数列{}n a 的公差为d ,则(1a -d )2=1a (1a -3d )这样21d a d =,从而d (d -1a )=0 ∵d ≠0∴d =1a ≠0 ∴122111(21)22n n n n n n a a d db a d =+-===•∴{}n b 是首项为1b =12d ,公比为12的等比数列。