证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
阵 B A,b 的秩.
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 ,, An等价于A1, A2 ,, An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 ,, An rA1, A2 ,, An ,b
又rA1, A2 ,, An rA1, A2 ,, An ,b rA1, A2,, An的极大线性无关组是rA1, A2,, An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 ,, An的线性组合
解: 设笼中有x只鸡, y只兔子
则 x y 35 2x 4 y 94
解得 x 23
y
12
所以笼中有23只鸡,12只兔.
下面是一个城市某街区的交通流量图: 给出x2 , x3 , x4 , x5的最小流量.
解:x2 50
3. 设1 a1,a2 ,a3 T ,2 b1,b2 ,b3 T ,3 c1,c2 ,c3 T ,
则下列三条直线:
L1 : a1 x b1 y c1 0, L2 : a2 x b2 y c2 0,
L3 : a3 x b3 y c3 0,
其中ai2 bi2 0, i 1,2,3,交于一点的充要条件是( D )
注: 定理表明对增广矩阵作行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [aij]mn 是线性方程组的系数矩阵,用Ai记A 的第i列,即 Ai [a1i ,a2i ,,ami]T , i 1,2,, n 则m n型线性方程组可表示为 x1 A1 x2 A2 xn An b
(1) 若1,2 ,3不共面，则方程组只有零解X [0,0,0]T
(2) 若1,2,3共面但不共线，则垂直于i ,i 1,2,3的
向量X均是解，这些解彼此平行
(3) 若1
,
2
,
3共线，则以
为法向的平面是所有向量
i
都是解,即解向量组成一个平面
定 义 4 .1: 设有m n型线性方程组( I )和k n型 线性方程组(II ),如果( I )和( II )的解向量集合相等, 则称(I )和(II )为 等价的线性方程组
小结: 与方程组 Ax b有解等价的命题
线性方程组 Ax b有解
向量b能由A的列向量组A1, A2 ,, An线性表示;
向量组A1, A2 ,, An与向量组A1, A2 ,, An ,b等价;
矩阵A A1, A2,, An 与矩阵B A1, A2,, An ,b
的秩相等.
A1, A2 ,, An线性相关 rA1, A2 ,, An n 即rA n
思考题:
1. m n型齐次线性方程组AX 0只有零解的
充要条件是( A )
( A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C ) A的行向量线性无关 ( D) A的行向量线性相关
定 理 2 : n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
故向量[ x1 k1, x2 k2,, xn kn ]T 也是AX b的解, 与AX b的解唯一矛盾. 故r([Ab]) r( A) n.
充分性． r([ Ab]) r( A) n时,方程组AX b有解,故
{ A1, A2 ,, An ,b}线性相关,而{ A1, A2 ,, An }线性无关.
即Ax b有解
定 理 3 : n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有唯
一解的充分必要条件是r[ A,b] rA n
证: 必要性．已知AX b有唯一解,则由定理2,
r[ Ab] rA 且有唯一解向量[ x1, x2 ,, xn ]T ,使
b x1 A1 x2 A2 xn An.
第4.1节 线性方程组的 基本概念
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
问题的提出:
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》 中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雏兔各几何？”
这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只 脚。求笼中各有几只鸡和兔？
由定理3.2,b可由A1, A2 ,, An唯一的线性表示, 从而 AX b有唯一解
思考题:
2. 对m n型非齐次线性方程组AX b,设
rA r,则下列命题中正确的是( A )
( A) 若r m,则方程组AX b有解 (B) 若r n,则方程组AX b有唯一解 (C ) 若m n,则方程组AX b有唯一解 (D) 若r n,则方程组AX b有无穷多解
( A) 1,2 ,3线性相关;
(B) 1,2 ,3线性无关;
(C ) r1,2,3 r1,2;
( D) 1
,
2
,
线性
3
相关,1
,
线性
2
无关.
4. 若齐次线性方程组
tx1 x2 x3 0, x1 tx2 x3 0,
x1 x2 x3 0, 只有零解,则t应该满足条件____t __1____
方程组有解等价于b是A的列向量的线性组合;
方程组的解就是列向量线性组合的组合系数.
思考: 如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B ， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定 理 1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
设rA n, 则向量组A1, A2,, An线性相关,存在
不全为零的数k1, k2 ,, kn ,使 k1 A1 k2 A2 kn An 0
b [ x1 A1 x2 A2 xn An ] k1 A1 k2 A2 kn An ( x1 k1 )A1 ( x2 k2 )A2 ( xn kn )An ,
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中x1, x2 ,, xn为未知量,aij和bi为常数;称为m n型线性 方程组
如果b 0,则称方程组为齐次线性方程组 如果存在bi 0,则称方程组为 非齐次线性方程组
例: 2 2型线性方程组的一般形式为：
aa1211xx11
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4
x6
50
x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a21x1 a22 x2 a23 x3 0 a31x1 a32 x2 a33 x3 0
其中每一个方程都表示一个以向量i [ai1,ai2 ,ai3 ]T 为 法 向 量 ， 过 点[ 0,0 ,0 ]T 的 平 面 . 其解是一个与1, 2 ,3均正交的向量X .
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 , 称Amn为线性方程组的系数矩阵;[ Ab]称为线性方程组的 增 广 矩 阵 ; 方程组的解是使矩阵等式成立的n维向量X
定 理 4. 1: 设矩阵A和B是行初等变换下等价的矩阵, 即存在可逆矩阵P,使PA B,则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组