20.2数据的波动20.2.1极差一、教学目标（一）知识与技能1．理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量。
2．会求一组数据的极差。
（二）过程与方法1．能在具体情境中应用极差。
2．会从图表上了解数据反映的信息。
（三）情感、态度与价值观1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性。
2．进一步发展学生的数据分析处理能力。
二、重点难点重点：会求一组数据的极差。
难点：本节课内容较容易接受，没什么难点。
三、教学准备多媒体，计算器。
四、教学方法分组讨论，讲练结合。
五、教学过程(一)复习引入我们已经学会了刻画一组数据集中趋势的方法（平均数、众数、中位数），今天我们继续探究对数据进行分析处理的新方法。
（学生表现出好奇、困惑，渴求新知）设计意图：激发学习热情和求知欲望话题一：气温1. 展示新加坡与北京气温图片，并提出问题：为什么说两个城市，一个“四季如春”，一个“四季分明”？2. 引导得出“温差”一说。
3. 例题教学：某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况。
设计意图：“温差”一词为“极差”的引出做好铺垫，并通过例题引出“极差”的概念。
话题一：射击1. 话题过渡：08奥运。
2. 展示射击图片。
3. 教练的烦恼：甲、乙两名射击手现要挑选一名射击手参加比赛，该挑选哪一位比较适宜？设计意图：渗透爱国主义教育。
引导学生讨论，初步做到能在具体情境中应用极差。
极差：是指一组数据中最大值与最小值的差。
在统计中常用极差来刻画一组数据的离散程度。
(二)新课讲解例1．(教材P154页例1)例2．为了比较甲、乙两种棉花品种的好坏，任意抽取每种棉花各10棵，操作：让学生在各自的学习小组中讨论、解释、交流自己的发现.教师可以参与到某个或几个小组中倾听。
在小组学习中讨论、交流发现另一个统计量极差（它有别于平均数、众数、中位数），极差反映了一组数据的离散程度。
解：甲种棉花结桃的最多数目为89，最少数目为79，其差为10；乙种棉花结桃的最多数目为91，最少数目为76，其差为15。
乙种棉花的结桃数据较甲种棉花的结桃更分散，分散的程度较大，说明棉花的结桃情况越不稳定。
通过以上发现可知：甲种棉花的结桃情况较乙种棉花好。
(三)例题讲解例1．一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是 .答案：497 3850分析：第一组数据中，最大值是865，最小值是368，其差为497，第二组数据中，最大值是1736，最小值是-2114，其差为3850。
例2．一组数据3、-1、0、2、X 的极差是5，且X 为自然数，则X= . 答案：4分析：已知的数据中，最大值是3，最小值是-1，其差为4，而题中给出的极差为5，故X 应为最小的数，且为4.例3．下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ）A.平均数B.中位数C.众数D.极差答案：D分析：由概念可知，应为极差。
例4．一组数据X 1，X 2，…，X n 的极差是8，则另一组数据2X 1+1，2X 2+1，…，2X n +1的极差是（ ）A. 8B.16C.9D.17答案： B分析：设第一组数据最大值为m X ，最小值为n X ，则m X -n X =8，且第二组数据的最大值为2m X +1，最小值为2n X +1，极差为2m X +1-（2n X +1）=2（m X -n X ）=16，故选B 。
（四）巩固练习1．已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ）A. 0.4B.16C.0.2D.无法确定2.在一次数学考试中，第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、-2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（ ）A. 87B. 83C. 85 D无法确定3．已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。
4．若10个数的平均数是3，极差是4，将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。
5．某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试各成员的成绩（单位：分）：90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？将数据适当分组，作出频率分布表和频数分布直方图。
答案1.A2.D3. 0.44.30 405．（1）极差55分，从极差可以看出这个小组成员成绩优劣差距较大。
（2）略（五）全课小结1．极差的定义。
2．极差的求法。
七、对应练习1. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的，它反映了这组数据的。
2. 在30个数据中，最小值为31，最大值为98，若取组距为10，可将这些数据分成组。
3 为了了解某校八年级200名学生的数学考试成绩，从中抽取了20名学生的数学成绩画出的频率分布直方图。
根据题中给出的条件回答下列问题：（1）在这次抽样分析的过程中，样本容量是；（2）71.5～76.5（分）这一小组的频率是；（3）在这次考试中，该校八年级200名学生的数学成绩在86.5～96.5（分）这个范围绩第3题内的人数约为 人。
4. 八年级（2）班参加环保知识竞赛，将竞赛所得成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，并绘制成频率分布直方图如下，请结合直方图提供的信息解答下列问题：（1）该班共有多少名学生？（2）在60.5～70.5分数段内的频数是多少？（3）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？（4）根据图文信息提出一个问题，并回答你所提出的问题。
答案 1. 极差 波动范围； 2. 7；3.（1）20 （2）0.1 （3）60；4.（1）48 （2）12 （3）在70.5～80.5内 （4）略八、教学反思本节课创设恰当的问题情景，激发了学生的兴趣与思考。
引导学生把数据转化成图象，观察、比较、分析从另一个角度来刻画这组数据的变化范围。
巧妙地引出极差概念，体会概念的形成过程，接着呈现多种形式的问题，通过思考、合作交流，进一步理解极差概念，使学生学会收集、整理、分析数据，逐步掌握统计思想。
九、知识链接标准不确定度的A 类评定定义为:“用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度”。
国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》中介绍了两种A 类评定的方法，贝塞尔法和极差法。
1.贝塞尔法当在重复性或复现性条件下，对被测量X 进行n 次独立观测。
若得到的测量结果分别为n x x x ,,,21 ，n 次测量的平均值为。
于是用贝塞尔公式可以求出单次测量结果i x 的实验方差)(2i x S 和实验标准差)(i x S 。
00.5 第4题2.极差法当在重复性或复现性条件下，对被测量x 进行n 次独立观测。
若n 个测量结果中最大值和最小值之差为R(称为极差)，在可以估计x 接近正态分布的条件下，单次测量结果的实验标准差)(i x S 可近似地表示为:)(i x S =R/C=u(i x )式中系数C 为极差系数。
极差系数之值与测量次数n 的大小有关。
表1给出极差法的极差系数和自由度与测量次数的关系。
既然随机变量x 的标准偏差可以用两种方法得到，就不可避免地会提出两种方法孰优孰劣的问题。
无疑，极差法具有计算简单的优点,但在计算机应用已经十分普及的今天，用贝塞尔公式计算也已变得相当容易。
因此关键问题还在于用何种方法估算得到的不确定度更为准确。
表面上看来，用贝塞尔公式进行计算时使用了全部n 个测量结果，而极差法只用了一个极大值和一个极小值，其余数据均弃之不用，因此用贝塞尔法得到的实验标准差应该比极差法更为可靠。
比较两种方法的自由度也可以看出，极差法的自由度比贝塞尔法小(贝塞尔法的自由度为n-1，而极差法的自由度<n-1)。
于是可以得到同样的结论，贝塞尔法比极差法更为可靠。
但实际上问题并没有这么简单。
根据定义，用标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度。
因此从理论上说，应该计算的是标准偏差σ，而不是实验标准差s 。
但标准偏差是一个总体参数，也就是说，要进行无限多次测量才能得到。
在实际工作中只能用样本参数来代替总体参数，即用实验标准差s 来作为标准偏差σ的估计量。
理论上可以证明，实验标准差s 并不是标准偏差σ的无偏估计量。
这就是说，当用实验标准差s 来代替标准偏差σ时，除了实验标准差s 本身是一个随机变量外，它的数学期望值(即无限多次测量结果的平均值)相对于标准偏差σ还有一个与测量次数有关的系统性偏差。
测量次数越少，其系统性偏差就越大。
因此可以对贝塞尔公式作一无偏差的修正。
经过无偏差修正后的贝塞尔公式为:上式中修正因子M n的数值见表2。
由表2可知，当测量次数n≤6时，随着测量次数减少，偏离系数M n将明显加速偏离1。
也可以分别计算出用贝塞尔公式和极差法得到的实验标准差的相对标准不确定度，其计算结果见表3。
由表3可以看出，当测量次数n=10时，两种方法得到的实验标准差准确程度几乎相同。
当n>10时，贝塞尔法优于极差法；当n<10时，极差法优于贝塞尔法。
至于修正的贝塞尔公式，相比而言虽然最为准确，但因比较麻烦实际上很少使用。
这就是为什么国家计量技术规范JJF1059-1999中在给出极差系数及自由度表后指出“一般在测量次数较小时采用该法”，以及国家计量技术法规统一宣贯教材《测量不确定度评定与表示指南》中同时还指出“测量次数以4～9次为宜”。
上面的分析，仅是针对实验标准差而言的。
在大部分的测量不确定度评定中，测量不确定度A类评定仅是其中的一个或几个分量。
他们还将与其他B类评定的分量合成，才能得到合成标准不确定度。
合成的方法是方差相加。
虽然实验标准差s并不是标准偏差的无偏估计量，但却可以证明实验方差s2是总体方差σ2的无偏估计量。
因此，若A类评定需要和其他B类分量合成，且A 类评定分量不占优势时，则无论测量次数的多少，贝塞尔法将优于极差法。
因此笔者认为结论应该是:(1)当A类评定不确定度分量不是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则无论测量次数是多少，贝塞尔法优于极差法。
(2)当A类评定不确定度分量是合成标准不确定度中惟一占优势的分量时，则两种方法的优劣与测量次数有关。
当测量次数n<10时，极差法优于贝塞尔法；当测量次数n≥10时，贝塞尔法优于极差法。