授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月11日 使用班级： 经管06-1(3)授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称： 第6章 微分方程第1节 微分方程的概念 教学目的：1、理解微分方程及相关概念2、初步认识根据实际问题建立微分方程的过程 教学重点：微分方程及相关概念教学难点：微分方程相关概念的正确理解 教学方法：举例；讲解；练习 教学手段：传统式 作业：P250 3、4、5教案实施效果追记：第6章 微分方程 第1节 微分方程的概念复习及课题引入（时间：5分钟）我们在中学学习并求解过什么方程？它们的解有什么特点？ 讲授新内容（时间：90分钟） 下看两个例子例 1 设作直线运动的物体的速度是)/(cos )(s m t t v =，当)(2s t π=，物体经过的路程为m s 10=，求物体的运动规律。
解 设物体的运动方程为)(t s s =，由导数的物理意义有t dtdscos = （1） 根据题意，函数)(t s 还应满足条件10)2(=πs （2）对方程（1）两端积分得C t s +=sin （3）其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式得C +=2sin10π即9=C ，于是得所求物体的运动方程为9sin +=t s例 2 一条曲线通过点)1,0(，且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程。
解 设所求曲线为)(x y y =，由导数的几何意义有23x dxdy= （4） 由于曲线过点)1,0(，因此有1)0(=y （5）对方程（4）两端积分得C x dx x y +==⎰323 （6）其中C 为任意常数。
把条件（5）代入（6）式得C +=01即1=C ，于是得所求曲线的方程为13+=x y两个例子中的方程（1）和（4）都含有未知函数的导数，对这样的方程我们有定义。
定义：凡含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。
注意：在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数和微分必须出现。
例如：xy y x x y dy x xydx y y x y ='-'''-=''=++='+''+='2322)(210)1(01微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
如果把函数)(x y y =代入微分方程后能使方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解，求微分方程的过程称为解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
如果微分方程的解中不含有任意常数，则此解称为特解。
特解通常可按问题所给条件从通解中确定任意常数的值而得到，用来确定特解的条件，称为初始条件。
如果微分方程是一阶的，则初始条件为00y y x x ==；如果微分方程是二阶的，则初始条件为00y y x x ==，00y y x x ='=。
例3 把质量为m 的物体从地面以初速度0v 竖直上抛，设物体只受重力作用，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为)(t s s =，根据牛顿第二定律有mg dtsd m -=22 即 g dtsd -=22 （1）据题意，函数)(t s s =还应满足两个条件⎪⎩⎪⎨⎧====0000v dtds s t t 对（1）式两端积分一次得1C gt dtds+-= （2） 再积分一次得 21221)(C t C gt t s ++-= （3）其中1C 、2C 都是任意常数。
将条件00v dtds t ==代入（2）式，得01v C =，将条件00==t s 代入（3）式得02=C 。
把1C 、2C 的值代入（3）式得所求物体的运动方程t v gt t s 0221)(+-=。
小结：（时间：5分钟）1.本节我们学习了微分方程及其相关的概念，要注意微分方程的解与以往学过的方程不同，它的解为函数而不是常数。
2.微分方程的通解中含有的任意常数的个数是指独立的任意常数的个数，它与微分方程的阶数相同。
授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 高管06-1(3) 授课时间： 2007年5月16日 使用班级： 经管06-1(3) 授课时间： 2007年6月 日 使用班级： 隧道工程06-1(3)授课章节名称： 第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程 教学目的：1、掌握可分离变量微分方程的解法2、理解实际问题中建立微分方程模型并求解的过程3、了解齐次微分方程的解法教学重点：解可分离变量的微分方程 教学难点：实际问题中建立微分方程 教学方法：举例；讲解；练习 教学手段：传统式 作业：P258 2（双）、3（单）、4 教案实施效果追记：第6章 微分方程第2节 可分离变量的微分方程复习及课题引入（时间：5分钟）什么叫微分方程？什么叫微分方程的阶？解？通解？特解？ 讲授新内容一、可分离变量的微分方程（时间：70分钟）形如)()(y g x f dxdy =的微分方程称为可分离变量的微分方程。
可分离变量的微分方程的解法如下： （1） 分离变量，得dx x f y g dy)()(=（2） 两端积分，得⎰⎰=dx x f y g dy)()(（3） 求出积分，得通解C x F y G +=)()(其中)(y G 与)(x F 分别是)(1y g 和)(x f 的一个原函数。
其基本原则是，把含有变量y 及其微分dy 的式子分离在等式的一边，而把含有变量x 及其微分dx 的式子分离在等式的另一边，然后将两端积分，求出通解。
这种方法叫做分离变量法。
例1求微分方程xy dxdy2=的通解。
解 将已给方程分离变量，得xdx ydy2= 两边积分，得xdx ydy 2⎰⎰=即 12ln C x y += （1）于是 2112x c c xe e e y ==+即 21x c ee y ±=因为1c e ±仍为任意常数，令C=1c e ±≠0，当C=0时，得到,0=y 它是原方程的一个解，得方程的通解为2x Ce y =。
以后在运算中为方便起见，可把（1）中的y ln 写成y ln ，只要最后得到的C 是可正可负的任意常数即可。
例2 解方程0)dy (122=++x dx xy 解 原方程可改写为dy x dx xy )1(22+-=分离变量，得 －χd xx y dy 221+= 两端积分，得⎰⎰⎰++=+=-)1(1121112222x d x dx xx dy y 从而，原方程通解为为任意常数）其中112C .()1ln(211C x y ++= 为了简化通解的表示形式， 令 ),0(ln 1>=C C C于是有)1ln(12x C y+= 或)1ln(12x C y +=这就是所求的通解。
例3 解方程.12'=-y y 解 将已给方程改写为12＋y dxdy=， 分离变量，得 dx y dy=+12， 两边积分，得 ⎰⎰=+dx y dy 12，⎰⎰=++dx y y d 12)12(21 1|12|ln 21C x y +=+，122|12|ln C x y +=+即 12212C x e y +±=+ x C e e y 22112±=+ 令 C e C 212=±， 于是有 x Ce y 2212=+， 化简，得 212-=x Ce y . 这就是所求微分方程的通解。
例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零。
求降落伞下降速度与时间的函数关系。
图9-1解 (1) 建立方程设降落伞下落速度为v ，降落伞在空中下落时，同时受到重力P 与阻力R 的作用（如图9-1），重力大小为mg ，方向与v 一致；阻力大小为为比例系数）k kv (，方向与v 相反，从而降落伞所受外力为kv mg F -=根据牛顿第二运动定律为加速度）a ma F (=,得函数v 应该满足的方程为kv mg dtdvm-= (2)求通解 将上式两边同时除以)(kv mg m -，同时乘以dt方程变形为 mdtkv mg dv =-两端积分 ⎰⎰=---dt mkv mg kv mg d k 1)(1得 1)(11C m tkv mg n k+=--，1)(1kC mt kkv mg n --=- 即m ktkC kC mkt kc mkteke k mg v e ee kv mg -------===-111令 ke C kc 1--=，得m ktCe kmgv -+= （3）求特解据题意设初始条件0|0==t υ,并代入上式，得C=kmg-于是所求特解为)1(m kte kmg--=υ)即降落伞下降速度与时间的函数关系为υ=ekmg -1(-mkt -)由上式可以看出，随着时间t 的增大，速度v 逐渐接近于常数kmg，且不会超过kmg，也就是说，跳伞开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动。
例5 下述人口阻滞增长模型，是在马尔萨斯人口模型基础上修改得到的一个改良模型⎪⎩⎪⎨⎧=-==00)1(x x xx x r dtdxt m 其中x 为t 年的人口总数，m x 为最大人口载容量，r 为生命系数，求人口总数函数。
二、齐次方程（时间：20分钟）如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的函数),(y x f 可化为)(xyϕ，这类方程称为齐次微分方程。
齐次方程)(xydx dy ϕ= （1） 可利用分离变量法求解，具体做法如下：令xy u = ，则dx du x u dx dy xu y +==, 代入（1）得 )(u dx du x u ϕ=+即u u dxdu x -=)(ϕ 当 0)(≠-u u ϕ时，分离变量得 dx xu u du 1)(=-ϕ 两端积分，得齐次微分方程的通解。
例6 求微分方程xy y dx dy x2=+的通解。
解 原方程变形为xy x y dx dy -=2 令x y u =，则dxdu x u dx dy xu y +==, 把它们代入上式，得 u u dx du xu -=+2 即 xdx u u du-=-)(2 这是已分离变量的方程，两端积分，得C x du u u ln ln )1(21=+-⎰C x u u d ln ln 1)1(=+--⎰C x u ln ln )1ln(=+-即 Cu x =-)1(将xy u =回代，得原方程的通解为 C x xy =-.小结：（时间：5分钟）1. 本节我们学会了可分离变量的微分方程的解法，注意化简其解的技巧。