9.2 直接证明与间接证明【知识网络】1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点；2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点；3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。

【典型例题】例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+baa b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 答案：C 。

解析：①③④恒成立。

（2）利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k 答案：C 。

（3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解答案：D 。

解析：“否定”必须包括所有的反面情形。

（4）定义运算 ()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为_________________．答案：2。

（5）若c b a >>，*N n ∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。

答案：4。

解析：因c b a >>，*N n ∈，所以c a n c b b a -≥-+-11同解于n cb ca b a c a ≥--+-- 又42≥--+--+=--+-+--+-=--+--cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。

例2：设0,102=+<<y x a ，求证：81log log 2)(+≤+a a a ay x ．答案：证明：因为222222x x y x yx y x aaaa a a -+==≥+，又10<<a ，所以222()(2)2log log log 2x x xya a a aaa x x -+-≤=+=22111log ()228a x --+ 81log 2+≤a .也可以用分析法证明。

例3：若c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：c b a ,,中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ， 而3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。

例4：是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对一切)*N n ∈成立？证明你的结论。

答案：存在0,41,41=-==c b a ，数学归纳法证明略. 【课内练习】1．已知c b a ,,均大于1，且4log log =⋅cb ca ，则下列各式中，一定正确的是 （ ） Ab ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 答案：B 。

解析： 41log log =⋅b a c c ，利用基本不等式证得。

2．记凸k 边形的内角和为)(k f ，则)()1(k f k f -+等于 （ ） A2πB πC π23D π2答案： B 。

3．设M 是),,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点，其中m 、n 、p 分别是yx y x P f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=∆∆∆则若的面积的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18答案：：D 。

解析： 由已知得111,22x y x y ++=+=，()1414422518y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．答案：20。

解析：某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次, 运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元,40044x x⋅+≥160,当16004x x =即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.5．已知集合M 是满足下列条件的函数f （x ）的全体：①当),0[+∞∈x 时，函数值为非负实数；②对于任意的)()()(),,0[,t s f t f s f t s +≤++∞∈都有在三个函数)1ln()(,12)(,)(321+=-==x x f x f x x f x中，属于集合M 的是 。

答案： )(),(21x f x f 。

解析：根据条件证得。

6．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是__ __。

答案：)12(2+k 。

7．给出下列四个命题： ①若;11,0ba b a >>>则②若b b a a b a 11,0->->>则 ③若;22,0bab a b a b a >++>>则④ba b a b a 12,12,0,0+=+>>则且若的最小值为9. 其中正确．．命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案：②④。

8．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可以被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除。

”那么假设的内容是答案：a,b 中没有一个能被5整除。

解析：“至少有n 个”的否定是“最多有n-1个”。

9．△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311。

答案：证明：要证cb ac b b a ++=+++311，即需证3=+++++++c b cb a b ac b a 。

即证1=+++cb ab ac 。

又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+ ∵△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有 60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

10．已知函数))((*N n n f ∈，满足条件：①2)2(=f ；② )()()(y f x f y x f ⋅=⋅； ③ *)(N n f ∈；④当y x >时，有)()(y f x f >.(1) 求)1(f ，)3(f 的值；(2) 由)1(f ，)2(f ，)3(f 的值，猜想)(n f 的解析式； (3) 证明你猜想的)(n f 的解析式的正确性.答案：(1)解：∵)1()2()2(f f f ⋅=，又2)2(=f ，∴1)1(=f . 又∵4)2()2()22()4(=⋅=⋅=f f f f 4)4()3()2(2=<<=f f f ，且*)3(N f ∈∴ 3)3(=f .(2)解：由1)1(=f ，2)2(=f ，3)3(=f 猜想)()(*N n n n f ∈= (3)证明：用数学归纳法证明： ①当1=n 时，1)1(=f ，猜想正确；②假设),1(*N k k k n ∈≥=时，猜想正确，即k k f =)( 1°若k 为正奇数，则1+k 为正偶数，21+k 为正整数，1(1)(2)2k f k f ++=⋅ 11()(2)2122k k f f k ++=⋅=⋅=+ 2°若k 为正偶数，则22k +为正整数，22(2)(2)()(2)22k k f k f f f +++=⋅=⋅ 2222k k +=⋅=+，又()(1)(2)2k f k f k f k k =<+<+=+，且*(1)f k N +∈ 所以1)1(+=+k k f即当1+=k n 时，猜想也正确 由①，②可知，)()(*N n n n f ∈=成立.【作业本】A 组1．若110a b<<,则下列结论不正确．．．的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b aa b+> Ｄ．a b a b -=- 答案：D 。

解析：取3,2-=-=b a 代入可得。

2．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立答案：A 。

解析：若n=6成立，则根据假设知n=7成立，与已知矛盾。

3．已知不等式1()()9,ax y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 。

解析：左边=22111),1)9,4y ax a a a x y+++≥++=∴≥≥。

4．用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .答案：3m 与1.5m 。

解析：设长为xm 则宽为2122193,(3)(3)42222x x x S x x -=-∴=⋅-=--+，当x=3时，面积S 有最大值。

5．若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)43(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ）的大小关系是)43(-f )1(2+-a a f .答案：≥。