探
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列．
索 当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
新
知
.
4
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
巩
解 所有排列为
固
a b ,a c ,a d ,b a ,b c ,b d ,c a ,c b ,c d ,d a .d b ,d c
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
.
1
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k 1 种方法，
第2类方式有 k 2 种方法，……，第n类方式有k n 种方法，那么完
创
成这件事的方法共有
设
Nk1k2Lkn （种）．
上面的计数原理叫做分类计数原理．
情
境
一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有
A3 100
970200
A
6 6
720
A15A52A35
85
A82结果的2倍
A84 2A82
1568
A
5 7
A
4 7
3
.
21
2计算：
n2345678 n!
.
22
3计算 ： 8名同学排成一排照相，有多少种排法？
.
23
3计算 ： 9名表演者站成一排表演，规定领唱者必须
站中间，朗诵者必须站在最右侧，问共有多 少种排法？
知
识
典 型
元元是素素本或或章象特 位 中例殊 置 经4这位 ， 常样置 分 使，， 步 用“然 骤 的首后 来 方先再 研 法考．考 究虑分 数 所 虑虑 问特字 以 问析一 题因殊不 分 题般”为能 成 ．百为两第位步一0上，考步的 先排百位上的数
例
字；第二步从剩
题
余的数字中任取 2个数排列．
.
14
分析 选出3本不同
A3 7765210．
的书，分别送给
典
即共有210种不同送法．
甲、乙、丙3位 同学，书的不同
型
排序，结果是不
例
同的.因此选法的 种数是从5个不
题
同元素中取3个
元素的排列数．
.
13
例4 用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有 重复数字的3位数？
解 所求三位数的个数为
巩 固
A 1 9A 9 29(98)648 ．
种 公
(n m )L2 1
式
考
（
n
n
! m
)
!
可 以
探
索
即
A
m n
（ n
n! m)!
新
知
.
12
例2
计算A
2 5
和
A
4．
4
解 ： A525420
巩
A 4 44 ！ 432 124 ．
固
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙
知
3位同学，每人1本，共有多少种选法？
识
解 不同的送法的种数是
自 解 ： A 5 2•A 2 15 4 24 0
我
反
思
百十个
目
2A、214
标 检
A
2 5
测
.
17
想一想：用0~9这10个数字，组成没有重复数字 的三位数?
自 解 ： A 5 2•A 2 15 4 24 0
我
反
思
百十个
目
标 检
A不为1 0 9
A
2 9
测
.
18
训练1： 由数字1，2，3，4能够组成多 少？
解 ：即：A 7 7 共= 7 有！ 5= 07 4 06 种 排5 法4 。 3 2 1 5 0 4 0
领唱者
朗诵者
.
24
4计算 ： 用1~5这5个数字，可以组成多少个没有重复
数字的4位数？其中有多少个4位数是5的倍 数？
解 没有重要数字的位数个数有： ： A54=5432120
其中是5的倍数有 ： A43=43224
知
分析
识
首先任取1个元 如果两个排列相同，那素么放不在仅左要边，然后
求这两个排列的元素完全在相剩同余，的而元素中任
典
且排列的顺序也要完全相取同1个．元素放在右边
型
．
例
题
.
5
例2 从10名集训的乒乓球运动员中，任选3名运动员，并排好 出场的先后次序参加比赛，有多少种不同的参赛方法？
解 由题意得参赛方法种数为：
考
探
A n m n n 1 n 2 L n m 1
索
新
特别地，当m=n时，由上式得全排列的种数为
这种记为n! 读作n的阶乘
知
An nnn1L321
.
11
变形，
动
A n m n (n 1 )(n 2 )L ( n - m + 1 )
计有 算两
脑 思
= n (n 1 )(n 2 )L(n m 1 )(n m )L2 1
巩
10x9x8=720(种）
固
知
分析
识
一
二
三
首先任取1个元 素放在左边，然后
在剩余的元素中任
典
取1个元素放在右边
．
型
例
10
9
8
题
.
6
习题 训练
1、写出红、黄、蓝3种颜色构成的全排列，并指出共有多少 种？
2、写出从a,b,c,d四个无素中任取2个元素的所有排列，并指 出共有多少种？
.
7
习题 训练
3、选排列和全排列有什么区别？
思考：
在A，B，C，D四个候选人中，选出正副班
运 长各一个，选法的种数是多少？
用
知
解：A42 4312
识
强 化 练 习
.
15
排列数计算公式的内容是什么？
理
论
A n m n • n 1 • n 2 L n m 1
升 华
A
m n
（ n
n! m)!
整
体
建
构
.
16
想一想：用1，2，3，4，5这五个数字，组成没 有重复数字的三位数， 其中偶数有多少个？
趣
北京→重庆，北京→上海， 重庆→北京，
导
入
重庆→上海，上海→北京， 上海→重庆．
.
3
我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，那么上面的
动
脑
问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以
思
得到多少种不同的排列．
考
一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照一定的顺
还有4名:
1 4
其余无要求:
A5 5-A4 45!4!96
A 1 4•A 4 44 4 3 2 1 9 6 此两学生也
有顺序
A
2 2
特点:此两名学生作为一个整体与其它三 人共四个元素进行排列(捆绑法)
A 2 2• A 4 4 2 1 4 3 . 2 1 4 8
20
P61 练习题
1、计算：
k 1 种方法，完成第2个步骤有 k 2 种方法，……，完成第n个步骤有 k n
兴
种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成
趣
这kn （种）．
入
上面的计数原理叫做分步计数原理．
.
2
下面看一个问题：
创
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
5
.
25
本节完
： 课后任务
1、整理本课知识有解题思路 2、复习迎接期末考试。
.
26
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自
（1）三位数？
我 反
（2）没有重复数字三位数？
解 ： （ 1 ） 4 4 46 4
444
思
（ 2） A1 443224
目
标
检
测
.
19
训练2： 现有5名学生排成一排照相，问： （1）某名学生不能排在最左侧的不同排队方法有多少种？ （2）某两名学生必须相邻的不同排队方法有多少种？
某学 生
A 某学生除外
设
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法．
根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
4、由2、3、5这3个数可组成多少个没有重复数字的3 位数？
.
8
本节完
.
9
从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的
动 所有排列的个数叫做从n个不同元素中任取m个不同
A 脑 元素的排列数．记做 m
思
n
考
探 索 新 知
.
10
如何计算
A
m n
呢？
…
1号位
2号位
3号位
m号位
动
脑
思
n 种 (n －1 )种 (n －2 )种 … [n －(m+1)]种