正方形存在性问题作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A （1,1），B （4,3），在平面中求C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形． 至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．两动点：构造等腰直角定第3点（2015·毕节）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点． （1）求抛物线的解析式；（2）是否存在过A 、B 两点的抛物线，其顶点P 关于x 轴的对称点为Q ，使得四边形APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =--；（2）已知A （-1，0）、B （3，0），故构造以AB 为斜边的等腰直角△APB ，如下：若四边形APBQ 是正方形，易得P 点坐标为（1，2）或（1，-2）， 当P 点坐标为（1，2）时，易得抛物线解析式为()21122y x =--+； 当P 点坐标为（1，-2）时，易得抛物线解析式为()21122y x =--． 综上所述，抛物线解析式为()21122y x =--+或()21122y x =--． 【小结】看到两个定点，不管题目如何描述第3个点的位置，均可通过构造等腰直角三角形确定第3个点，再求得第4个点．两定两动：抛物线+抛物线（2012·通辽）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD 放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2）、点B （1，0），抛物线22y ax ax =--经过点C ． （1）求点C 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点P 与点Q （点C 、D 除外）使四边形ABPQ 为正方形？若存在求出点P 、Q 两点坐标，若不存在说明理由．【分析】 （1）C （3，1）； （2）抛物线：211222y x x =--； （3）考虑A 、B 、P 构成等腰直角三角形且∠B 为直角，故可作出点P 如下：构造三垂直全等：△AMB ≌△BNP ，即可求得P 点坐标为（-1，-1），将点P 代入抛物线解析式，成立， 即点P 在抛物线上．根据点P 构造点Q ，通过点的平移易得点Q 坐标为（-2，1）， 代入抛物线解析式，成立，即点Q 也在抛物线上， 故存在，点P 坐标为（-1，-1），点Q 坐标为（-2，1）．【小结】本题数据设计得巧妙，由A、B确定的点P恰好在抛物线上，由A、B、P确定的点D恰好也在抛物线上，故存在这样的一组P、Q，当然若适当调整数据，则答案完全可以变成不存在．4动点：已知矩形构造邻边相等（2017·雅安）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （1，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE=PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，点N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F 、N 、G 、M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【分析】（1）抛物线：223y x x =+-；（2）求CE 的直线解析式或设P 点坐标表示PE=PC ， 可得P 点坐标为()2,2--．（3）考虑FN ⊥FM ，故四边形为MFNG ，若要成为正方形，则GN ∥FM ，GM ⊥x 轴，即四边形MFNG 为矩形． 设FN 长度为m ，则NG=FN=m ，故G 点横坐标为m-2， 代入解析式得：()22,23G m m m ---， 故223GM m m m =--=， 解得：1m =2m =，3m =，4m （舍）．则M 点坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．【小结】根据题目描述可知四边形是矩形，考虑四边形的边均与坐标轴平行或垂直，故构造一组邻边相等求得点坐标．四动点：考虑对角线垂直平分且相等（2017·枣庄）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，点B 坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）若点M 是抛物线上的动点，过点M 作MN ∥x 轴与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标． 【分析】（1）抛物线：21262y x x =-++；（2）考虑MN ∥x 轴且MN 为对角线，故MN 与PQ 互相垂直平分且相等，根据垂直可知：PQ ⊥x 轴； 根据平分可知：22M NP x x x +==； 根据相等可知：设MN 与PQ 交于H 点，则MN=2PH ．设M 点坐标为21,262m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则N 点坐标为214,262m m m ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭，42MN m =-，21262PH m m =-++，由MN=2PH ，可得21422262m m m -=-++，解得：1m =±3m =±当1m =3-1M y ，此时Q 点坐标为()2；当1m =3+1M y =，此时Q 点坐标为()2,2-．综上所述，Q 点坐标为()2或()2,2-．【小结】考虑到本题对角线是与坐标轴平行或垂直，故构造对角线垂直平分且相等，4动点：已知矩形：构造对角线互相垂直或有一组邻边相等（2018·南充删减）如图，抛物线顶点P （1，4），与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A ，B ．（1）求抛物线的解析式．（2）若M 、N 为抛物线上两个动点，分别过点M 、N 作直线BC 的垂线段，垂足分别为D 、E ．是否存在点M 、N 使四边形MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++；（2）由题意可得：MN ∥BC ，四边形MNED 是矩形，若要变为正方形，可考虑①对角线互相垂直；②有一组邻边相等． 思路1：考虑对角线连接ME ，则△MDN 为等腰直角三角形，∠MED=45°， 即ME ⊥x 轴，设M 点坐标为()2,23m m m -++， 则E 点坐标为(),3m m -+，①当M 点在E 点上方时，可推得N 点坐标为2256,22m m m m ⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭，将点N 坐标代入抛物线：()()13y x x =-+-， 得：22252566222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+--++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：()()()()()215223322m m m m m m ----=-+ ()32178422m m m m -++=+， 解得：11m =，26m =（舍）此时ME=2②当M 点在E 点下方时，同理可解：m=6．此时ME=18，正方形边长为思路2：考虑邻边相等考虑M 、N 两点均未知，但MN ∥BC ，故可设直线MN 解析式为y=-x+b ，联立方程：223x x x b -++=-+，化简为：()2330x x b -+-=，12x -=3MD ==- ∵MN=MD ，3=- 解得：15b =，215b =-或【小结】其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问题．。