初中数学竞赛《容斥原理》练习题
1.初三(1)班语文、英语、数学三门课测试,成绩优秀的分别有15、12、9名,并且这三
门课中,至少有一门优秀的共有22名,那么三门课全是优秀的最多有7名,最少有0名.
【分析】语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名,里面都含有一门、两门或三门优秀的和不优秀的人数,至少有一门优秀的共有22名,也包含有一门、两门或三门优秀的人数,因此按最糟情况优秀的最少0人,按最好情况考虑由容斥原理解答即可.【解答】解:语文、英语、数学三门课优秀的分别有15、12、9名三个数相加,相当于把三门优秀的数了3次,至少有一门优秀的共有22名,把三门优秀的数了1次,由容斥原理得,
(15+12+9)﹣22=14,14÷2=7名;
如图,
由图直接看出三门课全是优秀的最多有7名,最少有0名.
故答案为7、0.
【点评】此题主要利用容斥原理,以及文氏图法两者有机结合,使问题较容易解决.。