你会设计吗？ 提示：实质是对角以正方形中点为中心旋转．
2．（1）4 4 2 （2）8 4 （3）4 （4）112.5
3．（1）略 （2）15° 4．连结 CF，可证△ABE≌△CBF 或连结 DF，让△ABE≌△DAF。． 5．提示：（1）过点 E 作 EG∥AF 交 AM 的延长线于 G，连结 FG，证△ABC≌△EAG，得 EG＝AC，从而 EG AF，可得 AEGF 为平行四边形，结论得证；（2）∠BAC＝90°． 6．提示：证△DFM≌△MBN． 7．提示：证△ACF≌△DCB。 若点 C 在线段 AB 外，上述结论仍然成立，证法仿照着前一种情况。 【思路拓展题】
C．邻边相等
D．每条对角线平分一组对角
（3）正方形的对角线与边长之比为（ ）
A．1∶1 B． 2 ∶1 C．1∶ 2 D．2∶1
（4）以等边△ABC 的边BC 为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°， ③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（ ）
【基础知识精讲】 1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包 含两层意思：
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形) 正方形
(2)并且有一个角是直角的平行四边形(矩形)
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质可归纳如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的 夹角是 45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又 是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．
图 4—56 （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若∠BEC＝60°，求∠EFD 的度数．
1 4．已知：如图 4－57，在正方形 ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点，EB＝ BC，如果 F
2 是 AB 的中点，请你在正方形 ABCD 上找一点，与 F 点连结成线段，并证明它和 AE 相等．
【例题精讲】 ［例 1］如图 4－50，已知矩形 ABCD 中，F 为 CD 的中点，在 BC 上有一点 E，使 AE＝DC＋CE，AF 平分∠EAD． 求证：矩形 ABCD 是正方形．
图 4—50 剖析：欲证矩形 ABCD 是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知 AE＝DC＋CE，容易想到若能证明 AE＝AD＋CE 便可证得 AD＝DC，由于 AF 平分∠EAD，因此 可在 AE 上截取 AG＝AD，再证 GE＝CE，就可得出要证的结论． 证明：在 AE 上截取 AG＝AD，连结 FG、FE． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D＝∠C＝90°． ∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF ∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°． ∵DF＝CF，∴GF＝CF． ∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE， ∴Rt△GFE≌Rt△CFE． ∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE． 又 DC＋CE＝AE，∴AD＝DC． ∴矩形 ABCD 是正方形． 说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边 相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角． ［例 2］如图 4－51，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点， 过点 A 作 AG⊥EB，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F，则 OE＝OF．
图 4—51 对上述命题的证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO． ∴∠3＋∠2＝90°， ∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°． ∴∠1＝∠2， ∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF 问题：对于上述命题，若点 E 在 AC 延长线上，AG⊥EB，交 EB 的延长线于 G，AG 的延 长线交 DB 的延长线于点 F，其他条件不变（如图 4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果
【同步达纲练习】 1．选择题 （1）下列命题中，假命题的个数是（ ） ①四边都相等的四边形是正方形 ②对角线互相垂直的平行四边形是正方形 都相等的四边形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
③四角
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂Βιβλιοθήκη 平分B．对角线相等图 4—57 5．以△ABC 的 AB、AC 为边，向三角形外作正方形 ABDE 及 ACGF，作 AN⊥BC 于点 N， 延长 NA 交 EF 于 M 点． （1）求证：EM＝FM；
1 （2）若使 AM＝ EF，则△ABC 必须满足什么条件呢？
2
图 4—58 6．如图 4－58，已知正方形 ABCD 中，M、F 分别在边 AB、AD 上，且 MB＝FD，E 是 AB
学科：数学
正方形
【学习目标】 1．掌握正方形的定义、性质和判定方法． 2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．
【主体知识归纳】 1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有： （1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等； （2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
A．7
B．5
C．4
D．3
图 4—54
（7）在正方形 ABCD 中，E、F 两点分别是 BC、CD 边上的点，若△AEF 是边长为 2 的 等边三角形，则正方形 ABCD 的边长为（ ）
3 1
A．
2
3 1
B．
2
C． 3 D．2
（8）如图 4－55，在正方形 ABCD 中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM 等于（ ）
延长线上一点，MN⊥DM，MN 与∠CBE 的平分线相交于 N．求证：DM＝MN． 7．如图 4－59，已知 C 是线段 AB 上的一点，分别以 AC、BC 为边作正方形 ACDE 和
BCFG．
图 4—59 求证：AF＝DB；若点 C 在线段 AB 的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请 加以证明，如果不正确，请说明理由． 【思路拓展题】
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 （5）在正方形 ABCD 中，P、Q、R、S 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，且 AP＝BQ＝CR＝DS＝1，AB＝5，那么四边形 PQRS 的面积等于（ ） A．17 B．16 C．15 D．9 （6）如图 4－54，正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，过 O 点作 OE⊥OF 分别 交 AB、BC 于 E、F，若 AE＝4，CF＝3，则 EF 等于（ ）
图 4—53
剖析：新改造的池塘的面积是原面积的 2 倍，因此，新边长应为原边长的 2 倍，而
正方形的对角线是边长的 2 倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形． 答案：如图 4－53，分别过 B、D 作 AC 的平行线，分别过 A、C 作 BD 的平行线，四条
线分别交于 A′、B′、C′、D′，则四边形 A′B′C′D′为要求的正方形．
你会设计吗 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同 且面积相等的 4 部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图 4－60 的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）
图 4—60
参考答案 【同步达纲练习】 1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B
A．45° 2．填空题
B．55°
图 4—55 C．65°
D．75°
（1）已知正方形的面积是 16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．
（2）已知正方形的对角线长为 2 2 ，则此正方形的周长为_____，面积为_____． （3）在正方形 ABCD 中，两条对角线相交于 O，∠BAC 的平分线交 BD 于 E，若正方形 ABCD 的周长是 16 cm，则 DE＝_____cm． （4）在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE＝AC，连结 AE 交 CD 于 F，那 么∠AFC 等于_____度． 3．如图 4－56，已知正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE＝CF．
成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图 4—52 剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF． 解：结论 OE＝OF 仍然成立，证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO， ∴∠OFA＋∠FAE＝90° 又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°， ∴∠OEB＝∠OFA， ∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF． ［例 3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一 倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．