2020年四川省成都市武侯区中考数学一诊试卷解析版一、选择题（本大題共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（3分）在如下放置的立体图形中，其主视图与左视图不相同的是（）A．圆柱B．正方体C．圆柱D．球【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．【解答】解：A、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；C、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；D、球的主视图和左视图均为圆，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．2．（3分）已知点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点中在此反比例函数图象上的是（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】直接把点P（3，2）代入反比例函数y＝（k≠0）求出k的值，进而可得出结论．【解答】解：∵点P（3，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝3×2＝6，A、∵﹣3×（﹣2）＝6，∴此点在该函数图象上，故本选项正确；B、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；C、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误；D、∵2×（﹣3）＝﹣6，∴此点不在该函数图象上，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【分析】作AB⊥x轴于B，先利用勾股定理计算出OA＝5，然后在Rt△AOB中利用余弦的定义求解即可．【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，∴OA＝＝5，在Rt△AOB中，cosα＝＝．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞3B．k≥﹣3C．k＞﹣3且k≠﹣2D．k≥﹣3且k≠﹣2【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△＝4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥﹣3，∴k≥﹣3且k≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，若AE＝1，CE ＝AD＝2，则AB的长是（）A．6B．5C．4D．2【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝6，故选：A．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．坡面的水平宽度与铅直高度的比称为坡度C．两个相似图形也是位似图形D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧【分析】直接利用位似图形的性质以及坡比的定义、垂径定理的推论分别分析得出答案．【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故此选项错误；B、坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，故此选项错误；C、两个相似图形不一定位似图形，故此选项错误；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用、圆的有关性质，正确掌握相关定义与性质是解题关键．7．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，则∠OBC的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．70°【分析】由⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得∠OBC的度数．【解答】解：∵⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC＝55°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×55°＝110°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝＝＝35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．8．（3分）在一个不透明的袋子里装有20个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀，每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放网袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在0.6左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是（）A．12个B．20个C．30个D．35个【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：设袋中蓝球有x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝30，经检验：x＝30是分式方程的解，故袋中蓝球有30个．故选：C．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．9．（3分）在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均毎天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（）A．（x﹣2500）（8+4×）＝5000B．（x﹣2500）（8+4×）＝5000C．（2900﹣x﹣2500）（8+4×）＝5000D．（2900﹣x）（8+4×）＝5000【分析】设每台冰箱的降低x元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，根据题意列方程即可；【解答】解：设每台冰箱降价x元时，种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，由题意得：（x﹣2500）（8+4×）＝5000，故选：B．【点评】考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润＝销售量×单位利润，难度不大．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＝0；③2a﹣b＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的番号是（）A．①②④B．①③④C．①④D．③④【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【解答】解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，与y轴的交点在正半轴，因此c＜0，abc＞0，故结论①正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，因此选项②是不正确的；对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0，因此选项③不正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，因此方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．选项④正确；故选：C．【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．（4分）已知＝，则的值为．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：＝，则＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．12．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为2．【分析】通过证明△ACP∽△ABC，可得，即可求解．【解答】解：∵AP＝6，BP＝4，∴AB＝10，∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝6×10，∴AC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ACP∽△ABC是本题的关键．13．（4分）已知关于x的元二次方程x2﹣2kx﹣8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是﹣4．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设该方程的另外一个根为x，由根与系数的关系可知：2x＝﹣8，∴x＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．14．（4分）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是2．【分析】作A'F⊥BC于F，则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，A'F＝AB＝2，得出∠D'＝∠A'BC＝30°，得出BF＝A'F＝2，由矩形和平行四边形的性质得出BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，得出CD⊥A'D'，得出A'F∥CD，证出四边形A'ECF是矩形，得出CE＝A'F＝2，A'E＝CF，证出DE＝BF＝2，即可得出答案．【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝2，∴∠D'＝∠A'BC＝30°，∴BF＝A'F＝2，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝2，A'E＝CF，∴DE＝BF＝2，∴△ECD的面积＝DE×CE＝×2×2＝2；故答案为2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质与判定、直角三角形的性质、面积的计算；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答題（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（12分）（1）计算：﹣22+（π﹣3.14）0﹣|﹣4|﹣4sin60°（2）解方程：4x2+4x﹣3＝0【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）原式＝﹣4+1﹣（4﹣2）﹣4×＝﹣3﹣4+2﹣2＝﹣7；（2）∵4x2+4x﹣3＝0，∴（2x+3）（2x﹣1）＝0，则2x+3＝0或2x﹣1＝0，解得x＝﹣或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（6分）2019年9月10日是我国第35个教师节，某中学德育处发起了感恩小学恩师的活动，德育处要求每位同学从以下三种方式中选择一种方式表达感恩：A．信件感恩，B．信息感恩，C．当面感恩．为了解同学们选择以上三种感恩方式的情况，德育处随机对本校部分学生进行了调查，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为120°，并补全条形统计图；（2）本次调查在选择A方式的学生中有两名男生和两名女生来自于同一所小学，德育处打算从他们四个人中选择两位在主题升旗仪式上发言，请用画树状图或列表的方法求恰好选到一男一女的概率．【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；据此即可补全条形图；（2）分别用树状图和列表两种方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好选到一男一女的概率结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为15÷25%＝60（人），C类的总人数＝60﹣25﹣15＝20（人）所以扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝120°，补全条形统计图如图所示：故答案为：120°；（2）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好选到一男一女的结果有8个，∴P（选到一男一女）＝＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．17．（8分）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，成都市天府广场举行了盛大的升旗仪式，我市部分学生有幸见证了这一激动人心的时刻，并在现场作了如下测量工作：身高1.8米的某同学（图中AE部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部D 的仰角为22°，在护旗手结束走正步的点B处测得旗杆顶部D的仰角为45°，又测量得到A，B两点间的距离是30米，求旗杆DC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．）【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．【解答】解：延长EF交CD于G，∵∠DEF＝22°，∠DFG＝45°，∴在Rt△DGF中，DG＝GF，在Rt△DGE中，tan22°＝，即EG＝≈2.5DG，∵2.5DG﹣DG＝30，解得DG＝20，则DC＝DG+CG＝20+1.8＝21.8（米）．答：旗杆DC的高度大约是21.8米．【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．18．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质以及平行线的性质可得△ABE≌△CDF；（2）连接AC，与BD交于点O，由△ABE≌△CDF，得出BE＝DF，进而得出OE＝OF，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，可得四边形AECF是菱形．【解答】解：（1）证明：∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），∴∠AEB＝∠CFD（等角的补角相等），∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）四边形AECF是菱形．理由如下：如图，连接AC，与BD交于点O，∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，又∵OB＝OD，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵AC⊥EF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题时注意：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？【分析】（1）由一次函数解析式求得C的坐标，根据三角形面积求得B的纵坐标，代入一次函数解析式求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）由于将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，则直线y＝﹣x+5﹣m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程＝﹣x+5﹣m只有一组解，再根据判别式的意义得到关于m的方程，最后解方程求出m的值．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，作BD⊥OC于D，∵△BOC的面积为，∴OC•BD＝，即BD＝，∴BD＝1，∴点B的纵坐标为1，代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，∴B（4，1），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，∴＝﹣x+5﹣m，整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，即m的值为1或9．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF ＝5，求线段PE的长．【分析】（1）连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，即可求解；（2）证明△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，即可求解；（3）证明PC＝PE，BF＝5＝R，则R＝5，利用CO∥AD，则，即，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接OC，则OA＝OC，则∠OAC＝∠OCA＝α，而∠CAD＝∠CAB＝α，故∠DAC＝∠OCA＝α，∴AD∥CO，而CD⊥AD，∴CO⊥BD，故PC是⊙O的切线；（2）PC是⊙O的切线，则∠BCP＝∠CAB＝α，即tan，则sin，cos，∵∠DAC＝∠CAB＝α，∴△ADC∽△ABC，设圆的半径为R，则AC＝AB cosα＝2R×＝，CD＝AC sinα＝，故AD•BC＝AC•CD＝＝4m2，故R＝m；（3）连接OF、OC，CF平分∠ACB，则FO⊥AB，∵∠ECP＝90°﹣∠OCE，∠CEP＝90°﹣∠OFC，而∠OCE＝∠OFC，∴∠ECP＝∠CEP，∴PC＝PE，BF＝5＝R，则R＝5，AD＝AC cosα＝×＝8，同理CD＝4，∵CO∥AD，∴，即，解得：PC＝＝PE．【点评】此题属于圆的综合题，涉及了全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上B卷（共50分）21．（4分）已知方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根分别为m，n，则m2+n的值为8．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：m2﹣m﹣7＝0，∴m2＝m+7，∵m+n＝1，∴原式＝m+7+n＝8，故答案为：8．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．22．（4分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝26寸．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故答案为：26寸．【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．23．（4分）我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a b＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x（24）＝5，则x的值为．【分析】根据新定义得到24＝2，则x2＝x+5﹣，从而得到x+5﹣＝5，然后解一次方程即可．【解答】解：∵24＝2+×4＝2，∴x2＝x+×2＝x+5﹣∴x+5﹣＝5，∴x＝．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．24．（4分）如图，点P为双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OP并延长到点A，使P A＝PO，过点A作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C．当AC＝AP时，连接PC，将△APC沿直线PC进行翻折，则翻折后的△A′PC与四边形BOPC的重叠部分（图中阴影部分）的面积是．【分析】连接OC，BP，根据折叠性质得四边形ACA'P为菱形，进而得A'C∥AO，A'P∥AB，由反比例函数的比例系数的几何意义和相似三角形的性质求出△OPD，△OAB，△BCE的面积，进而结合边的比例关系求出△ACP的面积，最后便可求得阴影部分面积．【解答】解：连接OC，BP，则，∴，∵AP＝AC，将△APC沿直线PC进行翻折得△A′PC，∴AP＝AC＝A'C＝A'P，∴四边形ACA'P为菱形，∴P A'∥AB，A'C∥OA，∵AB⊥x轴，∴P A'⊥x轴，∴＝4，∴，∴OB•BC＝OD•PD，∵AP＝OP，PD∥AB，∴OD＝BD，∴PD＝，OD＝OB，∵CE∥OA，∴∠CEB＝∠POD，∵∠CBE＝∠PDO＝90°，∴△BCE∽△DPO，∴，∵OB•BC＝OD•PD，OD＝OB，∴BC＝PD＝AB，∴，，∴，∴，∵DP∥AB，∴△OPD∽△OAB，∴，∴，∵OP＝AP，∴，∴，∴．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，折叠性质，菱形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，中位线定理，三角形的面积，涉及的知识点多，难度较大，关键是由△OPD与其他三角形的关系，求出其他三角形的面积．25．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P 不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC 的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为．【分析】连接AM、AN，则MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，MN取最小值，此时，MN＝AN﹣3，则当AN取最小值时，MN最小，由AN＝，AD是定值，得出当DN最小时，AN最小，证明△ABP∽△PCN，得出＝，设BP＝x，PC＝4﹣x，得出CN＝﹣（x﹣2）2+，当x＝2时，CN最大为，则DN最小值为，AN 最小值为，即可得出结果．【解答】解：连接AM、AN，如图所示：∵点B关于直线AP的对称点M，∴AM＝AB＝3，∵MN≥AN﹣AM，当A、M、N三点共线时，MN取最小值，此时，MN＝AN﹣AM＝AN﹣3，∴当AN取最小值时，MN最小，∵AN＝，AD＝BC＝4，是定值，∴当DN最小时，AN最小，∵点B关于直线AP的对称点M，∴∠APB＝∠APM，∵PN平分∠MPC，∴∠MPN＝∠CPN，∴∠APN＝（∠BPM+∠CPM）＝×180°＝90°，∵∠ABP＝∠PCN＝90°，∴∠APB+∠NPC＝∠APB+∠BAP，∴∠NPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCN，∴＝，设BP＝x，PC＝4﹣x，∴＝，∴CN＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，CN最大为：，∴DN最小值为：CD﹣CN＝3﹣＝，∴AN最小值＝＝＝，∴线段MN的最小值为：﹣3＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数最值等知识；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形相似是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（8分）据报道，从2018年8月以来，“非洲猪瘟”给生猪养殖户带来了不可估量的损失．某养殖户为了预防“非洲猪瘟”的侵袭，每天对猪场进行药熏消毒，已知一瓶药物释放过程中，一个圈舍内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间x（分钟）之间满足正比例函数关系；药物释放完后，y与x之间满足反比例函数关系，如图所示，结合图中提供的信息解答下列问题：（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间满足的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克时，消毒才有效，那么这次熏药的有效消毒时间是多少分钟．【分析】（1）分别利用当0≤x≤10，设y与x之间满足的函数关系式为y＝kx，以及x＞10时，设y与x之间满足的函数关系式为y＝，分别得出函数关系式；（2）直接利用y≥6时得出x的取值范围即可．【解答】解：（1）当0≤x≤10，设y与x之间满足的函数关系式为y＝kx，∵过点（10，30），∴30＝10k，解得：k＝3，∴y＝3x（0≤x≤10），x＞10时，设y与x之间满足的函数关系式为y＝，∵过点（10，30），∴30＝，k＝300，∴y＝（x＞10）；（2）y＝3x（0≤x≤10）中，当y≥6时，x≥2，y＝（x＞10）中，当y≥6时，x≤50，∴2≤x≤50，∴这次熏药的有效消毒时间是：50﹣2＝48（分钟）答：这次熏药的有效消毒时间是48分钟．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．27．（10分）如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．【分析】（1）先求出∠APE＝∠ABC＝90°，∠P AE＝∠PEA＝∠ABC＝45°，即可得出结论；（2）由（1）知，△APE∽△ABC，得出，再判断出∠P AB＝∠EAC，进而判断出△P AB∽△EAC，即可得出结论；（3）先画出图形，利用勾股定理求出CP'，再分两种情况，求出CE和CE'，借助（2）的结论，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转知，P A＝PE，∠APE＝90°＝∠ABC，∴∠P AE＝∠PEA＝45°＝∠BAC，∴△APE∽△ABC；（2）在Rt△ABC中，AB＝CB，∴AC＝AB，由（1）知，△APE∽△ABC，∴，∵∠BAC＝∠P AE＝45°，∴∠P AB＝∠EAC，∴△P AB∽△EAC，∴＝＝，∵△P AB∽△EAC，∴∠ABP＝∠ACE，∴∠BCE+∠CBM＝∠BCE+∠ABP+∠ABC＝∠BCE+∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝45°+90°＝135°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCE+∠CBM）＝45°；（3）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∴AC＝3，∵点P，C，E在同一条线上，且∠APE＝90°，∴CP＝＝，∴CE＝CP﹣PE＝﹣1或CE'＝CP'+P'E＝+1，由（2）知，＝，∴BP＝CE＝（﹣1）＝或BP'＝CE'＝；即：BP的长为或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出△P AB∽△EAC是解本题的关键．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分∠PCM＝90°、∠CPM＝90°两种情况，分别求解即可；（3）作点E关于P′B′的对称点E′，将点E′沿P′B′方向平移2个单位得到点E″，连接E、E″交P′B′所在的直线于点B′，点B′沿P′B′方向平移2个单位得到点P′，则点P′、B′为所求，即可求解．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线AC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．。