高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）必修1全册 综合测试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2011·新课标文)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)在(0，＋∞)上单调递增，则f(a ＋1)与f(2)的大小关系是( )A ．f(a ＋1)＝f(2)B ．f(a ＋1)>f(2)C ．f(a ＋1)<f(2)D ．不确定3．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( )A ．f(x)＝ln xB ．f(x)＝1x C ．f(x)＝|x|D ．f(x)＝e x4．(2011·北京文)已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)6．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( )A ．x >1B ．x <1C ．0<x <2D ．1<x <27．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 28．(2012·德阳高一检测)已知log 32＝a,3b ＝5，则log 330由a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ＋1) B.12(a ＋b )＋1 C.13(a ＋b ＋1)D.12a ＋b ＋19．若a >0且a ≠1，f (x )是偶函数，则g (x )＝f (x )·log a (x ＋x 2＋1)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与a 的具体值有关10．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2) B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，2]∪[2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]第Ⅱ二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．幂函数f (x )的图像过点(3，427)．则f (x )的解析式是________． 12．(2011·安徽文)函数y ＝16－x －x 2的定义域是________． 13．设函数f (x )＝x (e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．14．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)＝________.15．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B .17．(本小题满分12分)(2012·广州高一检测)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log72＋(－9.8)0(2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x )2，求f (x ＋1)． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 32x －1，(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .(1)求f (log 213)的值； (2)求f (x )的解析式．20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点； (2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？1[答案] B[解析] 本题考查了集合运算、子集等，含有n 个元素的集合的所有子集个数是2n .∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}， 所以P 的子集个数为22＝4个． 2[答案] B[解析] ∵f(x)＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴a>1，∴a ＋1>2， ∴f(a ＋1)>f(2)，故选B . 3[答案] A[解析] 函数y ＝1x 的定义域为(0，＋∞)，故选A .4[答案] D[解析] 本题考主要考查集合的运算与解不等式问题． P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}， 所以∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 5[答案] B[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 6[答案] D[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >0x >2－x⇒⎩⎨⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D. 7[答案] D[解析] ∵y 1＝40.9＝21.8， y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝21.5， 又∵函数y ＝2x 是增函数，且1.8>1.5>1.44. ∴y 1>y 3>y 2. 8[答案] A[解析] 3b ＝5，b ＝log 35， log 330＝12log 330＝12log 3(3×10) ＝12(1＋log 310)＝12(1＋log 32＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． 9[答案] A[解析] g (－x )＝f (－x )·log a (－x ＋x 2＋1)＝f (x )·log a 1x 2＋1＋x＝－f (x )·log a (x ＋x 2＋1)＝－g (x )． 则g (x )是奇函数． 10[答案] D[解析] ∵a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2， ∴f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2＝22－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2. ∵－2≤x ≤2且|x －2|－2≠0，即x ≠0， ∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．11[答案] f (x )＝x 34[解析] 设f (x )＝x α，将(3，427)代入，得3α＝427＝334 ，则α＝34.∴f (x )＝x 34.12[答案] {x |－3<x <2}[解析] 该题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法，注意填定义域(集合)．由6－x －x 2>0， 得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}． 13[答案] －1[解析] ∵f (－x )＝f (x )对任意x 均成立，∴(－x )·(e －x ＋ae x )＝x (e x＋ae －x )对任意x 恒成立，∴x (－ae x －e －x )＝x (e x ＋ae －x )，∴a ＝－1. 14[答案] 12[解析] ∵f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，∴f (x )＝16log 2x ，∴f (8)＝16log 28＝16log 223＝12. 15[答案] (－∞，16][解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0，∴a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16， 即a 的取值范围是(－∞，16]．16[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意．∴A ∪B ＝{2,3,4}．17[解析] (1)原式＝log 3332＋lg(25×4)＋2＋1 ＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x )2＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4＝(x －1x )2＋4 ∴f (x )＝x 2＋4 ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4 ＝x 2＋2x ＋5.18[解析] (1)由2x －1≠0，即2x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)因为f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(3)由于函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为当x >0时，2x >1,2x －1>0，x 3>0，所以f (x )>0； 当x <0时，0<2x <1,2x －1<0，x 3<0，所以f (x )>0. 综上知f (x )>0.本题得证．19[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23) ＝－2log23＝－3.(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0， 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >00，x ＝0－2－x ，x <0.20[解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac ＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0.∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋ca <2，即有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a >0h (2)>0－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. 21[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x (0<x <1)． 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ，即(12)m10 ＝(12)12，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ， 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24， (12)n10 ≥(12)32，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。