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第六章 数列
6．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，1＋2＋22＋23 ＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________， 从k到k＋1时需添加的项是__________．
[答案] 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3 ＋25k＋4
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[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若 n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题 也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝ k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C.
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2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x ＋y整除”，第二步归纳假设应该写成( )
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A．假设当n＝k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 [答案] D
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[解析] ①显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能 被x＋y整除
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4．欲用数学归纳法证明2n＞n2，n的第一个取值应是
()
A．1
B．2
C．5
D．6
[答案] C
[解析] ∵21＞12,22＝22,23＜32,24＝42,25＞52,26＞62，
∴n的第一个数应是5.
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5．若不等式n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋21n＞2m4对 n ∈N*都成立，则正整数 m 的最大值为____________．
[答案] 11
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[解析] 设 f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n， ∴f(n＋1)＝n＋1 2＋n＋1 3＋…＋2n1＋1 ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＋2n1＋1＋2n1＋2－n＋1 1 ＝f(n)＋(2n1＋1－2n1＋2)＝f(n)＋2n＋112n＋2＞f(n)， ∴f(n＋1)＞f(n)＞…＞f(1)＝12＝1224，∴m＝11.
基础自测 1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命 题成立，那么可推知n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C
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7．已知数列{an}，其中 a2＝6 且aann＋ ＋11＋ －aann－ ＋11＝n. (1)求 a1，a3，a4； (2)求数列{an}的通项公式． [解析] (1)∵a2＝6，aa22＋－aa11－＋11＝1， aa33－＋aa22＋－11＝2，aa44－＋aa33＋－11＝3， 解得 a1＝1，a3＝15，a4＝28.
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3．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的
内角和 f(k＋1)＝f(k)＋____________( )
π A.2
B．π
C.32π
D．2π
[答案] B
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三
角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
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考纲解读 1．了解数学归纳法的原理； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 考向预测 1．归纳——猜想——证明将是2012年高考热点； 2．与函数、不等式等知识交汇命题．
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[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
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(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立 ，即有 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1 则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＋2k＋112k＋3 ＝2k＋k 1＋2k＋112k＋3＝2kk＋2k1＋32k＋＋13
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
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(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
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Hale Waihona Puke 下页末页第六章 数列
∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)ak－(k＋1) ＝(k＋1)·k(2k－1)－(k＋1) ＝(k＋1)(2k2－k－1) ＝(k＋1)(2k＋1)(k－1)(k－1≠0)． ∴ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]． 即当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②可知，{an}的通项公式为 an＝n(2n－1)．
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
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