复数的加减运算
例 计算
（1）)43()53(i i -++； （2）)54()23(i i --+-；
（3）)33()22()65(i i i +---+-
分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。
解：（1）.6)45()33()43()53(i i i i +=-++=-++
（2）.77)]5(2[)43()54()23(i i i i +-=--+--=--+-
（3）)33()22()65(i i i +---+-i )326()325(---+--=.11i -=
确定向量所表示的复数
例 如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表
示0，i 23+，i 42+-，试求：
（1）AO 所表示的复数，BC 所表示的复数.
（2）对角线CA 所表示的复数．
（3）对角线OB 所表示的复数及OB 的长度．
分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。
或者用向量的相等直接给出所求的结论．
解：（1）OA AO -=
AO ∴所表示的复数为i 23--．
AO BC = ，
BC ∴所表示的复数为i 23--．
（2）OC OA CA -=，
CA ∴所表示的复数为i i i 25)42()23(-=+--+
（3）对角线OC OA AB OA OB +=+=，它所对应的复数为
i i i 61)42()23(+=+-++
3761||22=+=OB
求正方形的第四个顶点对应的复数
例 复数i z 211+=，i z +-=22，i z 213--=，它们在复平面上的对应点是一个正方
形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析1：利用BC AD =或者DC AB =求点D 对应的复数。
解法1：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的
复数为yi x +（R y x ∈,）则
OA OD AD -=)21()(i yi x +-+=
i y x )2()1(-+-=
OB OC BC -=i i i 31)2()21(-=+----=
∵ BC AD =， ∴.31)2()1(i i y x -=-+-
∴ ⎩⎨⎧-=-=-321
1y x 解得⎩⎨⎧-==12y x
故点D 对应的复数.2i -
分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的
中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．
解法2：设复数1z ，2z ，3z 所对应的点分别为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的
复数为yi x +（R y x ∈,）
因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心．
∴ 点O 也是B 与D 点的中点，于是由0)()2(=+++-yi x i
∴ .1,2-==y x
故D 对应的复数为.2i -
小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C 对称固形，解题思路较巧．
根据条件求参数的值
例 已知i a a z )5(321++-=，i a a a z )12(122-++-=（R a ∈）分别对应向量，
21,OZ OZ （O 为原点），若向量12Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值． 分析：12Z Z 对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出12Z Z 对应的复数，再利用复数
为纯虚数的条件求解即得．
解：设向量12Z Z 对应复数z ∵2112OZ OZ Z Z -=
∴])12(1[)5(32221i a a a i a a z z z -++--++-=-=
i a a a a a )]12()5[()]1()3[(22-+-++---=
i a a a a )6()2(22+--+--=
∵ z 为纯虚数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≠+--=--0
60222a a a a 即⎩⎨⎧≠-+=+-0)2)(3(0)1)(2(a a a a ∴ .1-=a
求复数的轨迹方程
例 r z =，求i z 432-+对应的点的轨迹方程．
解：i z 432-+=ω，则.432i z +-=ω 又r z =，故有.22r z =
∴ r i 2)43(=--ω
∴ ω对应点的轨迹是以i 43-为圆心，r 2为半径的圆．
小结：由减法的几何意义知1z z -表示复平面上两点z ，1z 间的距离． 当r z z =-1，表示复数z 对应的点的轨迹是以1z 对应的点为圆心，半径为r 的圆． 当1z z -2z z -=，表示以复数1z ，2z 的对应点为端点的线段的垂直平分线．
求复数的最大值与最小值
例 设复数满足i z i z 342234-+-=--+，求z 的最大值和最小值．
分析：仔细地观察、分析等式i z i z 342234-+-=--+，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若a a -=，则0≤a ，因此已知等式可化为0234≤--+i z
解：由已知等式得0
-
-i
z
-
+
(≤
2
3
)
4
即0
+
-
-
-i
z，它表示的以点P（－4，3）为圆心，
2
)
3
(≤
4
半径2
R的圆面．
=
如图可知OQ
=
+R
OP；
5=
z=时，z有最大值7
2
+
=
OP
-
-R
2
OM
z=时z有最小值3
5=
小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解．。