2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数 学（一）一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim ()()()x x x x a x b ®¥=-+(A)1(B)e(C)a be -(D)b ae -【答】 应选 (C) .【解】 因22ln ln()ln()lim ln()lim()()1/x x x x x x a x b x a x b x®¥®¥---+=-+()()()3222112=lim lim 1x x a b x abx x x a x b a b x x a x b x ®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim (()()x a x b x x a x b e ®¥-=-+，故选 (C) .(2)设函数(,)z z x y =由方程(,0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z z x y x y ¶¶+=¶¶(A)x (B)z (C)x -(D)z-【答】 应选 (B) .【解】 在方程两边分别对x 和对y 求偏导，得122211()0y z F z F x x x x ¶¢¢-+-=¶，12110z F F x x y¶¢¢+=¶于是有 22()z z x y F zF x y ¶¶¢¢+=¶¶， 即z zx y z x y ¶¶+=¶¶，故选 (B) .(3)设,m n均是正整数，则反常积分ò的收敛性(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值都有关(D)与,m n 的取值都无关【答】 应选 (D) .【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1x x ==，于是需分成两个积分加以考察：dx =+ò(1)对于，易见被积函数非负，且只在0x +®时无界，于是当1n >时，由+0lim 0x®=及120ò收敛，知收敛；当1n=时12/1mx-:及212101mdx x-ò收敛，知收敛；(2)对于，易见被积函数非负，且只在1x -®时无界，于是当1m >时，由11lim lim 0x x --®®==及1收敛，知 收敛；当1m =时，由21/211ln (1)lim lim 0(1)x x x x ---®®-==-及212101m dx x -ò收敛，知收敛；由此可见，无论正整数,m n如何取值，0ò都是收敛的，故选 (D) .(4) 2211lim()()n nn i j nn i n j ®¥===++åå (A) 12001(1)(1)x dx dy x y ++òò(B)1001(1)(1)xdx dy x y ++òò(C) 11001(1)(1)dx dyx y ++òò(D) 112001(1)(1)dx dyx y ++òò【答】 应选 (D) .【解】 记21(,)(1)(1)f x y x y =++，(){},y 01,01D x x y =££££，知(,)f x y 在D 上可积. 用直线()0,1,2,,i i x x i n n ===L 与()0,1,2,,j j y y j n n===L 将D 分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)n n n ni j i j n i j n i n j n n n=====×++++åååå是(,)f x y 在D 上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim ()()(1)(1)(1)(1)nnn i j Dn dxdy dx dy n i n j x y x y ®¥====++++++ååòòòò.故选 (D) . (5)设A 为m n ´矩阵，B 为n m ´矩阵，E 为m 阶单位矩阵. 若AB E =，则(A)秩()r A m =，秩()r B m =(B)秩()r A m =，秩()r B n =(C)秩()r A n =，秩()r B m =(D)秩()r A n =，秩()r B n=【答】 应选 (A) .【解】 因A 是m n ´矩阵，故()r A m £，又()()()r A r AB r E m ³==，故()r A m =. 同理，可得()r B m =，故选 (A) .(6)设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=. 若A 的秩为3，则A 相似于(A) 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B) 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C) 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D) 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】 应选 (D) .【解】 设l 为A 的特征值，则由2A A O +=知2+=0l l ，即=0l 或1-. 又因A 是实对 称矩阵，故A 必相似于对角矩阵L ，其中L 的对角线上的元素为特征值1-或0. 再由()3r A =可知()3r L =，故选 (D) .(7)设随机变量X 的分布函数0,0,1(),01,21,1xx F x x e x -<ìïï=£<íï-³ïî则{1}P X ==(A)0 (B)12(C)112e --(D)11e--【答】 应选 (C) .【解】 由分布函数的用途，知{1}(1)(1)P X F F -==-1111122e e --=--=-. (8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x £ì=>>í>î为概率密度，则,a b 应满足(A)234a b +=(B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=【答】 应选 (C) .【解】 由题意，有221()x f x -=，21/4,(1,3)()0x f x Î-ì=íî，其他，()1f x dx +¥-¥=ò而0120()()()f x dx af x dx bf x dx +¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2a b f x dx +ò13=24a b +，于是有13124a b +=，即234a b +=. 故选 (C) .二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设20,ln(1),t tx e y u du -ì=ïí=+ïîò则220t d y dx == .【答】 应填 0.【解】 因2/ln(1)=/t dy dy dt t dx dx dt e -+=-, 22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1t td y d t te t dx dt e dx dt t -=++-+， 故2020t d ydx==.(10)2p =ò.【答】 应填 4p -.【解】t =，则2dx tdt =，于是有2220002cos 2sin 4sin 4cos 4cos 4.t tdt t tt tdt t tdt p pppp p p ==-=-=-òòòò(11)已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydx x dy +=ò.【答】 应填 0.【解法一】 补有向线段:0([1,1])L y x =Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L 与L 围成的平面区域为D ，则利用格林公式及区域D 关于y 轴的对称性，得222(2)00LDL LLxydx x dy xydx x dy xydx x dy x x dxdy ++=+-+=---=òòòòò【解法二】 记1:1([1,0])L y x x =+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])L y x x =-Î， 起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy+=++òòò 012210=[(1)][(1)]x x x dx x x x dx -+++--òò1212=()(02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}x y z x y z W =+££，则W 的形心的竖坐标z = .【答】 应填23.【解】 记(){}22,y 1D x x y =+£，有221x y Ddxdydz dxdy dz +W=òòòòòò22=(1)Dx y dxdy --òò212=(1)d r rdr p q -òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223x yDD zdxdydz dxdy zdz x y dxdy d r rdr p p q +W==-+-=òòòòòòòòòò， 从而W 的形心的竖坐标为23DDzdxdydzz dxdydz==òòòòòò. (13)设1(1,2,1,0)Ta =-，2(1,1,0,2)Ta =，3(2,1,1,)Ta a =. 若由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，则a = .【答】 应填 6.【解】 因由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,a a a 的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000a a a a æöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a =.(14)设随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,!CP X k k k ===L ，则2EX =.【答】 应填 2.【解】 由概率分布的性质，有{}01k k P X x ¥===å，即01!k Ck ¥==å，亦即1Ce =，1C e -=.由此可见，X 服从参数为1的泊松分布，于是22()112EX DX EX =+=+=.三、解答题（ 15 ～ 23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xy y y xe ¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320y y y ¢¢¢-+=的两个特征根为121,2r r ==，其通解为212x x Y C e C e =+.……4分设原方程的特解形式为*()x y x ax b e =+，则*2((2))xy ax a b x b e ¢=+++，*2((4)22)x y ax a b x a b e ¢¢=++++，代入原方程解得1,2a b =-=-，……8分 故所求通解为212(2)x x xy C e C e x x e=+-+ ……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()x t f x x t e dt -=-ò的单调区间与极值.解： ()f x 的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()x x t t f x xe dt te dt --=-òò，2224423311()2222xxt x x t f x x e dt x ex ex e dt ----¢=+-=òò，所以()f x 的驻点为0,1x =± ……3分列表讨论如下：x (,1)-¥-1-(1,0)-0 (0,1) 1 (1,)+¥()f x ¢-0 +0 -0 +()f x ↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()f x 的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f ±=，极大值为21101(0)(1)2t f te dt e --==-ò……10分(17)（本题满分10分） (I)比较1|ln |[ln(1)]nt t dt +ò与1|ln |(1,2,)ntt dt n =òL 的大小，说明理由；(II)记1|ln |[ln(1)](1,2,)n n u t t dt n =+=òL ，求极限lim n n u ®¥.解：（I ）当01t ££时，因为ln(1)t t +£，所以|ln |[ln(1)]|ln |n n t t t t +£，因此11|ln |[ln(1)]|ln |n n t t dt t t dt+£òò ……4分（II ）由 (I) 知，110|ln |[ln(1)]|ln |n n n u t t dt t t dt £=+£òò.因为1112011|ln |ln 1(1)n n n t t dt t tdt t dt n n =-==++òòò，所以1lim|ln |0nn tt dt ®¥=ò ……8分 从而 lim 0n n u ®¥=……10分(18)（本题满分10分） 求幂级数121(1)21n nn x n -¥=--å的收敛域及和函数. 解：记12(1)()21n nn u x x n --=-， 由于221()21lim lim ()21n n n nu x n x x u x n +®¥®¥-==+，所以当21x <，即||1x <时，1()n u x ¥=å绝对收敛，当||1x >时，1()n u x ¥=å发散，因此幂级数的收敛半径1R =……3分当1x =±时，原级数为11(1)21n n n -¥=--å，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]-……5分设1211(1)()(11)21n n n S x x x n -¥-=-=-££-å，则122211()(1)1n n n S x x x ¥--=¢=-=+å，又(0)0S =，故201()arctan 1xS x dt x t==+óôõ， ……8分 于是121(1)()arctan ,[1,1]21n nn x xS x x x x n -¥=-==Î--å ……10分(19)（本题满分10分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分I S=，其中S 是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.解： 椭球面S 上点(,,)P x y z 处的法向量是{2,2,2}n x y z z y =--r， ……2分点P 处的切平面与xOy 面垂直的充要条件是0({0,0,1})n k k ×==r r r，即20z y -=所以点P 的轨迹C 的方程为222201z y x y z yz -=ìí++-=î，即2220314z y x y -=ìïí+=ïî ……5分取223{(,)|1}4D x y x y =+£，记S 的方程为(,),(,)z z x y x y D =Î，==，所以DI =óóôôôôõõ(D x dxdy =+òò ……8分2Ddxdy p== ……10分(20)（本题满分11分） 设1101011A l l l æöç÷=-ç÷ç÷èø，11a b æöç÷=ç÷ç÷èø. 已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，（I ）求,a l ； （II ）求方程组Ax b =的通解.解：（I ）设12,h h 为Ax b =的2个不同的解，则12h h -是0Ax =的一个非零解， 故2||(1)(1)0l l =-+=A ，于是1l =或1l =- ……4分当1l =时，因为()()r A r A b ¹M ，所以Ax b =无解，舍去. 当1l =-时，对Ax b =的增广矩阵施以初等行变换，有1111013/2()02010101/211110002a A b B a æ-öæ-öç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷-+èøèøM .因为Ax b =有解，所以2a =- ……8分（II ）当1l =-，2a =-时，1013/20101/20000B æ-öç÷=-ç÷ç÷èø，所以x =A b 的通解为31110201x k æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中k 为任意常数. ……11分(21)（本题满分11分） 已知二次型123(,,)Tf x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q 的第3列为,0,22T. （I ）求矩阵A ；（II ）证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.解：（I ）由题设，A 的特征值为1,1,0,且(1,0,1)T为A 的属于特征值0的一个特征向量.……3分 设123(,,)Tx x x 为A 的属于特征值1的一个特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以1231(,,)001x x x æöç÷=ç÷ç÷èø，即130x x +=.取,0,22T æö-ç÷ç÷èø，(0,1,0)T 为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量 ……6分令022010022Q æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷-ç÷èø，则有110T Q AQ æöç÷=ç÷ç÷èø，故1101112020101T -æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøA Q Q . ……9分评分说明：求出满足条件的一个矩阵A ，即可给9分.（II ）由（I ）知A 的特征值为1,1,0，于是A E +的特征值为2，2，1，又A E +为实对称矩阵，故A E +为正定矩阵.……11分(22)（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,),,x xy y f x y Ae x y -+-=-¥<<+¥-¥<<+¥，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x .解：因2222()(,)x xy y X f x f x y dy A edy +¥+¥-+--¥-¥==òò22()y x x A e dy+¥----¥=ò222(),x y x x Aeedy x +¥-----¥==-¥<<+¥ò，……4分所以21()x X f x dx e dx A p +¥+¥--¥-¥===ò，从而 1A p=……7分当(,)x Î-¥+¥时，22222|1(,)(|)1()x xy y Y X x X ef x y f y x f x p-+--==222x xy y -+-=2(),x y y --=-¥<<+¥ ……11分(23)（本题满分11分）设总体X 的概率分布为X 1 2 3p1q-2q q -2q其中参数(0,1)q Î未知.以i N 表示来自总体X 的简单随机样本（样本容量为n ）中等于i 的个数（1,2,3i =）.试求常数123,,a a a ，使31i ii T a N==å为q 的无偏估计量，并求T 的方差.解: 记11p q =-，22p q q =-，23p q =. 由于(,),1,2,3i i N B n p i =:，故i iEN np = ……4分 于是22112233123[(1)()]ET a EN a EN a EN n a a a q q q q =++=-+-+ ……6分为使T 是q 的无偏估计量，必有22123[(1)()]n a a a q q q q q -+-+=，因此12132010a a a n a a =ìïï-=íï-=ïî，……8分由此得 12310,a a a n===……9分由于123N N N n ++=，故123111()()1N T N N n N n n n =+=-=-.注意到1~(,1)N B n q -，故1221(1)(1)n DT DN n n nq q q q --=== ……11分。