+∞
=
−∞ +∞
f (x − x0)e−iξxdx
=
−∞
f (τ )e−iξτ e−iξx0 dx.
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
ˆ(ξ ) = F [f (x)] a = 0 为 常 3. 相 似 性 质 设 f 数, 则 1ˆ ξ F [f (ax)] = f ( ) a a 特别地， 若 取 a = −1, 则 可得翻转公式 ˆ(−ξ ) F [f (−x)] = f
+∞ +∞
1
∞
kπx
kπx
{
−∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dx}f (ξ )eiξx dξ . f
+∞ −∞
ˆ(ξ ) = F [f (x)] = f
f (x)e−iξx dx .
ˆ(ξ ) 的 傅 里 叶 逆 变 换 记 作 f f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξx dξ . f
7
(a) lim δ (x − x0) =
→0+
+∞ 0
+∞
x = x0 x = x0
(b)
lim
→0+
δ (x − x0)dx = 1
−∞
定 理 (筛 选 性 质) 对 在 点 a < x0 < b 的 邻 域 内 连续的任 意函数 ϕ(x) 有
b
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
sinat πt
的傅里叶变
4
ˆ(ξ ) = f F
−1
a −a
e
−iξt
dt = − 1 2π
1 iξ
e−iξt|a −a 2sinaξ ξ
=
2sinaξ ξ
ˆ(ξ )] = [f
+∞ −∞
eiξt dξ .
(由 于 f (x) = F
−1
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
ˆ(ξ )eiξt dξ .) f
F [sgnt] = 2F [H (t)]−F [1] = = 2 iξ . 2 iξ +2πδ (ξ )−2πδ (ξ )
13
性 质 4 设 方 程 ϕ(t = 0) 有 m 个 重 根 t1, t2, ...., tm, 则 有
m
δ [ϕ(t)] =
k=1
δ (t − tk ) |ϕ (tk )|
t
dξ =
1 [f (t − 0) + f (t + 0)
2
ˆ(ξ ) 作 傅 里 叶 变 换 对 f
3
ˆ ˆ(x) = F [f ˆ(ξ )] = f = 2π [ 1 2π
+∞ −∞
+∞ −∞
ˆ(ξ )e−iξx dξ . f
ˆ(ξ )eiξ(−x) dξ ] = 2πf (−x) f
例 5 求矩形脉冲函数
a
当 (a, b) = (−∞, +∞) 时 ，有
∞
δ (x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
−∞
引 理 1 若 f (x) 是广义函数 , 若对在 (a, b) 内 的任意连续函数有
b
f (x)ϕ(x)dx = 0
a
则 f (x) = 0.
8
性质 1 δ (x) 是偶函数. 证明对任 意连续函数 ϕ(x) 作变换 t = −x，有
+∞ −∞
1
+∞
2π −∞ iξ 1 +∞ sinξx 1 + dξ = 2 π 0 ξ
12
=
1 + 2 1 − 2
1 2 1 2
| x| > 1 | x| < 1
+∞
注意
0
sinξx ξ
+∞
dξ =
0
sint t
dt =
π 2
例 求符号函数的
sgnt = 1 −1 t>0 t<0
的傅里叶变换 解 由于 sgnt = 2H (t) − 1, 有 所以
14
2. 位 移 性 质 设 a, x0
ˆ(ξ ) = F [f (x)] f 均为常数; 则 ˆ(ξ ). F [f (x − x0)] = e−iξx0 f ˆ(x). F −1[f (ξ − a)] = eiaxf
证 明 由 F 变 换 定 义 , 令 x − x0 = τ 则
F [f (x − x0)]
f (t) = 1 0 | t| ≤ a |t| > a (a > 0)
ˆ, 且 利 用 傅 里 叶 积 分 证 明 的傅里叶变换 f π 2 sinaωcosωtdω =
π 4
| t| < a | t| = a | t| > a
+∞ −∞
1 ω
0
其中 (a > 0). 并 利 用 对 称 公 式 求 g (t) = 换. 解: 由傅里叶变换的定义
特 别 地 , 当 t1 = 0 为 一 个 根 时 , 有 δ (t) δ (at) = , a = 0, a为 常 数 |a| 当 t1 = −a, t2 = a, 为两个 根时, 有
δ (t −a ) =
2 2
δ (t − a) + δ (t + a) 2|a|
, a = 0, a 为 常 数
(β − iξ )(cos ξt + i sin ξt) β2 + ξ2
dξ
1 2π
+∞ −∞
β (cos ξt) β2 1 + ξ2
dξ =
1 π
0
+∞
β (cos ξt) β2 +ξt) β2 + ξ2
2π
+∞ 0
dξ = 0 f (t)
1 π
β cos ξt + ξ sin ξt β2 + ξ2
解: 由傅里叶变换的定义
ˆ(ξ ) = f
0
2
+∞
e−βte−iξtdt =
0
+∞
e−(β+iξ)tdt
=− F
−1
1 β + iξ
∞ e−(β+iξ)t|+ 0
=
β − iξ β2 + ξ2
iξt e dξ 2
ˆ(ξ )] = [f
1 2π
+∞ −∞
β − iξ β2 + ξ
=
1 2π
+∞ −∞
∞
α(x)δ (x − x0)ϕ(x)dx
−∞ ∞
=
−∞
δ (x − x0)α(x)ϕ(x)dx = α(x0)ϕ(x0)
∞
= α(x0)
−∞
δ (x − x0)ϕ(x)dx
9
∞
=
−∞
α(x0)δ (x − x0)ϕ(x)dx
证毕. 性质 3 H (x) = δ (x) 其中
H (x) = 1 0 x>0 x<0
+∞
2.
−∞
δ (x − x0)dx = 1
可以把 δ (x − x0) 看成 某种含参数 ε 的普通函 数 δ (x − x0) 的（ 弱）极限. 例如 取 1 x0 < x < x 0 + ε ε 1. δ ((x − x0) = 0 x = x0
δ (x − x0) 有 如 下 的 两 个 性 质 :
15
证明当 a > 0 时, 令 t = ax, 有
+∞
F [f (ax)] =
−∞
f (ax)e−iaxdx
ξ
=
1 a
+∞ −∞
f (x)e−i a tdt
1ˆ ξ = f( ) a a 当 a < 0 时, 令 t = ax, 有 F [f (ax)] = 1 a
−∞ +∞
f (x)e
ξ −i a x
再由奇函数的积分性质可得
1 2π
+∞ −∞
1 ξ
sinaξ (isinξt)dξ = 0.
5
再由偶函数的积分性质可得
π 2 sinaωcosξtdξ =
π 4
| t| < a | t| = a |t| > a (a > 0)
+∞ 0
1 ξ
0
如果取 t = 0, a = 1, 有
+∞ 0
sinξ ξ
dξ =
π 2
另一方面
ˆ ˆ(x) = 2πf (−x) f
g (ξ ) =
sinaξ πξ
1 ˆ = f (ξ ) 2π
故
1 ˆ ˆ(ξ ) = f (−ξ ) = f (ξ ) g ˆ(ξ ) = f 2π
6
2. 单 位 脉 冲 函 数 (δ 函 数 ) 在工程和物理现象中，从集中分布的量，如 集 中 质 量 ， 集 中 点 电 荷 ， 点 热 源 ， 单 位 脉 冲, 冲 击力的瞬时作用等的研究中会遇到在原点等于 ∞， 在 其 他 地 方 为 0 的 Dirac 函 数 . 这 种 函 数 不 是 高 等 数 学 中 的 普 通 函 数 ， 而 是 广 义 函 数. 这 种函数在工程和物理中有重要意义. δ 函 数 的 定 义 δ 函 数 是 定 义 在 (−∞, ∞) 内 满足如下条件的函数: ∞ x = x0 1. δ (x − x0) = 0 x = x0
证毕. 性质 4
δ (x − x0) 的 傅 里 叶 变 换 与 逆 变 换