--《高等数学1（一)》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意:1、本试卷共3页; ２、考试时间:120分钟; 3、姓名、学号必须写在指定地方。

一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共２０分）1.与函数()f x =[ C ]. Ａ．lnx B.21()2ln x C ．lnx Ｄ.ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-,则α与β的值为［ D ]. Ａ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C.511,3αβ== D ．515,3αβ==３．设函数()y f x =在点0x 处可导,dy 为()f x 在0x 处的微分,当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ]．A ．－１ Ｂ.0 C ．1 D.∞4.若()f x 在x a =的某个邻域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 Ｂ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在Ｃ.0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D.0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ]．A.1,1a b ==B.0,a b R =∈ C ．,0a R b ∈= D.,a R b R ∈∈6.若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-,则下列结论中正确的是[ B ].Ａ.3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极小值点 C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D.0,3a b ==-,且1x =为函数()f x 的极大值点７．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ Ｃ ]. A.11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C.12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D.11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8.若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ Ｄ ]． A.sin 2cos2x x x C ++ B ．sin 2cos2x x x C -+Ｃ．1sin 2cos 22x x x C -+ D.1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c 满足0a b ⋅=与0a c ⨯=，则b c ⋅等于[ A ]． A ．0 B ．-1 C.1 D.310.直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ Ｃ ］.A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直 D.相交但不垂直二.填空题(每小题2分，共１0分)1.一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+,则速度增加的时刻t = １ . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . ３．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = １ .４．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + ． 5.设向量,,m n p 满足0m n p ++=,且6m =，8n =,10p =,则m n n p p m ⨯+⨯+⨯= 1４4 ．三．求解下列各题（每小题5分，共10分）1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2 ＝(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ ４1/2e -= ５2．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解:原式＝203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=2023cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分,共12分）1.若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数,求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xy y y e y x y e +'=-+ ４ 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数,求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-=３ 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五.求解下列各题(每小题６分,共18分)1.222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ ４2C xlnx-=+ 6 2.222max{,}x x dx -⎰解：原式＝0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5＝１1/2 ６3．设21sin ()x tf x dt t =⎰,求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ ２221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. (本题10分)y已知星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - ０ a x2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度4L =⎰2 a -4=⎰４6a = ５2)面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 1０七． (本题７分)已知某直角三角形的边长之和为常数,求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ,其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=,则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=-有驻点22x k -= ５则22max34S k -==为所求 7八. (本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-,设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= ２令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --=为所求直线的方向向量得到所求直线为:213214x y z ---==- 7九. (本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根,并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->,即在闭区间[0,1]上单调增加 ４ 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6。