三角形中角度的证明与计算
类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角
1、两个内角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。

2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
如图，在∆ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。

3、两个外角平分线的夹角
如图，在∆ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。

练习1、如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小
练习2、如图，在∆ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交
于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，
得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，
求2015A ∠ = 。

类型二：三角形中两条边的高线的夹角
如图，在∆ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠之间的关系。

E D C
B
A O
类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角
如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。

练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC.
(1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数；
(2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数；
(3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？
类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论）
如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。

练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN•的度数．
（2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；•若不能，请说明理由．
类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角
如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题：
在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系
在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

A O E D。