4.29——6.14.29证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。

（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。

） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理有：0=y L 。

附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==说明y x l l ˆˆ不是厄密的。

2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。

4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，利用基本对易式 L i L L =⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。

()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。

（补白）若需要严格论证2x l 与2y l 的相等关系，可设yx l i l l ˆˆˆ+≡+ y x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21ˆ-++=l l l x)ˆˆ(2ˆ+--=l l il y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41ˆ2--+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2imim x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2imim y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=⎰⎰Ω--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412（3） Ω--+=⎰⎰Ω--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412（4） 按角动量理论：1,)1)((ˆ++++-=m i imY m l m l Y l1,)1)((ˆ--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）和正交归一化条件：m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*=Ω⎰⎰δ （6）将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*m l m l d Y l l Y imim 2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰+-*m l m l d Y l l Yimim注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，再代进积分式中，如：1,)1)((ˆˆˆ-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l1,ˆ)1)((-+⋅+-+=m l Y l m l m lm l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((⋅+-+--+-+=将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。

])1)(()1)([(41222++-++-+=m l m l m l m l l x 22])1([21m l l -+= 又从（4）式看出，由于--++l l l l ˆˆ,ˆˆ没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。

第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。

4.30——6.24.31——6.5，6.9，6.144.31设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12221=+C C ），求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。

解：1121122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。

（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。

平均值 21C L z =。

（b ）2L 的可能测值为22 ，26 ，相应的几率为21C ，22C 。

（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。

1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2对角化的表象中的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*******求本征矢并令1= ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a c b a λ010********， 得，a b λ2=，b c a λ2=+，c b λ2=。

1,0±=λ。

ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 0，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10121。

ⅱ）取1=λ，得c a b 22==，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 2，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12121。

ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12121。

在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011111C Y C 态下 ：x L 取0的振幅为()2001C 1012111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，x L 取0的几率为221C； x L 取 的振幅为()2001C 1212111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，相应的几率为421C；x L 取 -的振幅为()2001C 1212111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，相应的几率为421C 。

总几率为21C2）x L 在2=l 的空间，()z L L ,2对角化表象中的矩阵 利用()()1211++-=+m j m j m j jm j x ()()1211+-+=-m j m j m j j m j x11222 =∴x j ，230212=x j ，231202=-x j ，12212=--x j 。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100102300023023000230100010x L ，本征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛e d c b a e d c b a λ010010230002302300023010001a b λ=，b c a λ=+23，()c d b λ=+23，d e c λ=+23，e d λ=，2,1,0±±=λ。

ⅰ）0=λ，0=b ，c a 23-=，0=d ，c e 23-=本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10320183。

在⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001002202C Y C 态下，测得0=x L 的振幅为。

几率为422C ；ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101121。

在202Y C 态下，测得 =x L 的振幅为()01101121001002=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C ，几率为0。

ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101121，在202Y C 态下，测得 -=x L 几率为0。

ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=，a e d 22==，a c e ==6，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1262141，在202Y C 态下，测得2=x L 的振幅为()2246126214100100C C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛。

几率为2283C ； ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=，a d 2-=，a e =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1262141，在202Y C 态下，测得 2-=x L 的几率为2283C 。

2222418383 C C =⎪⎭⎫⎝⎛++∴。

在202111Y C Y C +=ψ态中，测x L （和y L ）的可能值及几率分别为：222122212122834141214183202C C C C C C +--4.32求证在zˆl 的本征态下，角动量沿着与z 轴成θ的角度的方向上的分量的平均值是：θcos m 。

（解）角动量l ˆ沿着与z 成θ解的方向（此方向用单位矢S 表示，它不是唯一的，因由方位角ϕ给定），有一投影'ˆl，它的解析式是： θϕθϕθcos sin sin cos sin k j i s++=zy x z y x l l l k j i l k l j l i s l l ˆcos ˆsin sin ˆcos sin )cos sin sin cos sin ()ˆˆˆ('ˆθϕθϕθθϕθϕθ++=++⋅++=⋅= （1）计算在z l ˆ的本征态im Y 中角动量投影'ˆl的平均值： ΩθΩϕθΩϕθΩd Y l Y d Y l Y d Y l Y l im z imim y im im x im ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+=***)ˆ(sin )ˆsin (sin )ˆcos (sin ' （2） 式中ϕθθd d d sin =Ω 根据（29）题的结论，zl ˆ本征态下0x =l ，0=y l 故前一式 第一，二两个积分无贡献，由于：imim z Y m Y l =ˆ，因而θcos ' m l = （3）4.33设属于能级E 有三个简并态1ψ，2ψ和3ψ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。