五年级奥数.数论.余数性质(C级)「例T.7 一个两位数除刖金余籬品求这样的两位数。

【哮点】除法必式的应用【难度】I星【题型】解答「解折亍本題为余数问姻的M題吐需要学生明白一个重要知鎭畐就是把余救问题-即“不往徐问題” 转化为整除问题.方法为用被除數减击余数，即得到一个除数的借数；或者是用被除数加上一个“除魏与余數的差S也可说得到一个除數的倍數"本題中315-*2=273＞说明273是所求兪数的倍数* 273=3x7x13＞所求的两位数的數还要满足比竝丸，符合条件的有91【答案】91I贰冈)在卜-面的空格中填上适当的数*7 4 Z□ □? 2 0 0 4 7□ □ □【耆点】除法公戎的应用I难度】2星【题型】填空［关皱词】如年，第2^,走具杯.3年级,决赛丫第10題，12余【解桁】本題的楝除敷、商和余數巴经給岀，根据除法的计算公瓦：掖徐龜4■除數=商……余敷，建推计算痔到：徐數-(2WM7—13)^742=27…【答集】27I例?］命子里放有编号I到10的十平球，小虹先后二次从盒子中共収出九个球，如果从第二次起，每衣取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩卜的球的编号为—・I耆点】餘法公式的应用【难度】3星【题型】填空【关撻词】第盛届、走美杯，四年虬初躺第11罐【解析】令箔I次取的編号为釧第二次聪的编号为2a+i,第三冼取的编号为：2(2i+l ) +L=4a+3;还剰下的编号为：55*7a^=5L-7a,爭a为百臥俞下的趕9；当a为7时，余下的是£【答案】9A＜2I巩间】川个口然数，利为100,分别除囚人杵用去足泌「10个商的和为3D；若用四舍五入法，呦个商的利为34. H)个甦中帔3除余I的右_______________ 个.【考点】除法公式的应用I难度】3星【题型〕填空【关犍词】2(X)8年，第天届+走关杯，五年虬和執第洛題【解析】由题意，“用击足法，10个贯的舸为和；用四舍五入法，KJ个商的粗为34"可知，10介数中除直3余2的数有3£{}=4 （个），又知道旧伞自然毀的和为|（趴设除以d余I的数有子个’眸裟报据用去雇法冶十个商的和与山个自摊數的和，可得灵皋戎：£+2rl =l^_3Oi解得，工“・3 3 3【答案】2I例*）托吗想了一个正粋数，并H茨出了它分别除113. 6和9的余数.现知这三余数的和是15.试求该数除以怡的余数.【考点】带余除法的怙算闻題【难度】3星【题璽】解答【关梃词】圣披得堡數学奥秋匹克【解斯】除事氛右和9的余数分别不超过2,乳卷所佛逮三个余就的希永远不超过2 + 5 + 215’既然它们的奔第于15,所以这三个余数分别就是2, 5, £.所以谨數触J君能覆玉6, 9 而|7P6P9| = 1!i T设诱魏为宀则口 = 1伽-1’即d =18伽-1） +门（阿为非零自煤兹h所以它:臨以】8的舍數只能为17,【琴案】17「巩圍】一个正報数，它分别除以7, LL和G的余数*现知这丄余数的利是2SL试求该数除以®的余数.【考点〕带余除法的估算问題【难度】3星【題型】解答【关储词】虽彼得堡数常翼林匹克【解析］除以九II和□的余数好别不趨1±&⑴，12,所以这三金余戲的和永远不^i±6+ L0H-I2-2B , 既然它扪轴和等于2K,所以这三个余数令别就是£ 1血12,所已诬数加I后能被7、II和13 整铝 ft［7,11,131 = 1001 ,址陵数为”* Jf1! d = 1001 m-I +即£t = 91 K11 K（ m 4） 4000 （m 非零自然戦h所权它檢以91的舍數只能为知“【答案】90「罰4J用I、9、氛探这四个数字能徘成儿个披H除余!i的四位数？【哮点】徐法公式的应用【难度】5 X 【题型】境空【炭犍词】幣二届，华杯執初名第14题【解析】用1、鼻8. $可排成煌个四位戳.即）988,冷甥"1閱％ 9】圈，9和乩9跆1* fJNS,射豹，的」备的}U , SK19 ’細9】它们减去^变为 19B0, 1890, 1881，9JH0. 9810, 9873. 8190, S1S1, 8910, 8973, S8U, 8H83 烬中破M整除的仅有1卿），1S8L S410,曲II,即用1’ 9* & !4可排咸.4介被］除余姑的㈣位數，即J9H8 ，’H918 「闕 19,什么样的数能被J1竝除呢？一个判定法則是：比较奇住数字之和与偶位數字之和.知果它如之差能枝II琛■那虫所给的软就能祓I］整除，否刚就不能够. 现在要求破1】除命敲我们可以連样耆虑：这样的數加上3后*就能楝II整除了-所议我怕粹到“一个数被11除兪！T杓判瓷法則：持偶位歎字相血得一个矜歎，再将奇位數字相新再加上3’ 捋另一个和數、扣果这两个和数之差能被II 除尽，那幺这个醜足被II幣余N的數；否別就不是*矣把h 9、排成一个彼II 除余醫的四住敷，可以把这从卜戡裁成两组，毎组2个数字.算中亠组■作为千位和十住戟’它们的和记柞丸；另外一组柞为百住希个位数*它们之希加上3记作超过脸证，第(1 )钟令组法满足前面的雯求：A-i+n, ^-9 + 8 + 3-20^ J? -A - II 能號1】除 尽 怛 基 余 三 科 分 组 撷 不 觸 匿 要 求*根据判定法則还可以知道，如杲一金数被II 际余缶那么牲奇＜1杓任竈两个數字互换，凱者庄偶也的任意两牛数字互換，番到的新数被II 除也余乱 于是，上面第(1｝分组屮，1和苦中任一 个可也柞为千位戟，9和呂中任一个可因作为百住魏-这样典有4聊可能的撫法：丹H& 1翻9, 8918 , 粕19答：能排成4个秋和除余it 的數【答耄】4IMJ 用2、沢0. 7V 7、良4这七个数字托被II 除余()的绘小和呆大的七位数？【淆点】除法公戎的应用 【难度】5星 【題型】廩空【解析】用2.队Os 人=、2. 4这七个数字什么样的数能皴11摊除呢？ 一个判定決刚是：比校奇住数字之和与偶住数字之舸，如炭它们之 差能被II 除尽，那么所給的戟就能诚I 】整驚，否则就不能够.现在要求被II 除余缶 我怕可以这强考虑；这样的数加上5我减击右点”就能被1】楚除了.(I )如果0做底般：加5把一个0愛咸仏数字舸是2+5+4?+了+2心2人奇位敷字之和与偶位般 序乏和的菱是11的搐編都是自然醜+所以奇软位数字好=1更偶数住藝字之乘禺最小的为 7202745.即足敷为0的最小械11^6的敷为7202740,足敷对D 的最丸被11廉除()的数为 7472020(2)知樂2做雄股：加5把一个2变咸.7,魏字彌是7+(MH7+7+2+4=2人奇住数字之和与偶位数 字5的盖是11的倍欽，隸是自然#L 所収奇瓢位數字之和二19,耐I 便敖字也址乩这拜的数 不存在，(3 )如果4做尾数：加5把一个4塹成乳 数字和是齢0+37+7+2+42人奇位數字之豹乌偶位数 字之和的差是□的倍数，祁是自然醜+所以奇験位数字也机比偽戳位数宇之奉=乩这样的软 不存在”(4)如果？做足数：城右把一伞7更辰L 数字和是2+OKH-I +7+2+4= 16A 拉數字之和与偶位数 字之和的差是1】的催轨 都是自然软，所以奇戟位耻宇之和=备 偶数位数字之和=乩 聂片的为 7202041,即足數为7的最小掠II 除命氏的数为7202047,足數为了的最丸被］I 除余tii 的数为74020277202740>72(i2047 最大 7^72020>7402027I 答案】最*b 7202047.最大7472020 +我们要适 当分组，使痔能 偶位背位 C 1 ) 1 » 89 > e ( 2 ) 1 * 9e > e ( 3 ) 9 » 8i > e ( 4 )$ » 8 i >勺 被I 】整除.現在只宥下面4种分组法：【例5】将七位数叫孑刘924“車复写287次纽威一个2009位数"13579241357924...去这个数中所有位『奇数位上的数字；按上述厅丛一肓删除卜-去直到剩下一个数字为止，则堀后剩卜一的数字是I舟点】找規律计算【难度】4星I題型】解答【关槌词】21)09年，第14届*华杯霉，决赛，第3题【解析】本題哮察二进制，聂后剩下的数是屮“鏗4位值上的数字，周期为=,朋以IO24 +7^I4S 2,耶幺理个周期中的第二个數是弓［«词】3I 30粒珠子依呂粒红色、2粒黑鱼.£粒红色、2粒照色…的次序串成一罔，一只蚂蚱从第2粒黑珠子起跳’每次跳过6料珠子落在下…粒珠子匕这只蚂蚱至少耍跳_____________ 次才能落到黑珠子匕。

I考点】扶规律计鼻I雜度】3星【题型】填空【关挂词］2W6年丫第4届，走美尿3年虬初鞋薦12题［薛折】規翳可知，誓次眺过占粧珠子，则隔了个珠子，观在知第】伞聲味子在1血第二个在17>第3 个在24*第4^^31-30=1,第5夺在3弘10=治第自个柱気第7个在2,第客个柱36 所就这只妈蚱至少要跳7炭才能落到囂珠子上*I答案】7次I 例6】如果1=1(* 1X2=21 * 1X2X3=31 …Ix2x3x _______ X99xioo=i00t 那么11+21+3!+.―-100!的个位数字晁多少？【考点】兪数的加减法定理【难度】3星【题型】解等【解析】从5!开始个位数字都是。

了固此只需箋计界前4卒歟I! +2! +3! +4! =1+2+^+24=33所以末位數字一定是孑【答案】3【巩同〕如杲1 = 11” 1x2=2! , Jx2x3 = 3l［煜汨x ..x99xlOU= |(M)!那么1!+3!+5!*?汁 (99)的末商位数字是多少？【考点】余救的扣减法定理【难度】3星【题型〕解答【孵析】从IU!升始末两位数字都是0 了因此只霸要计算前5个數,1! +5! +5! +7! +91未两位数1+6+2屮片机曰47斯谅末住貌字一屯是4了【答案］47「例77有2个三位数相瓏的积是一个五位数，税的后四位是320勺第一个数#个位的数字之和是II,第i•个数的各个位数字上和是求两个三位数的利°【考点】弃丸法【卓度】3星【题型】塀蓉本题条件仅络出了两个乘数的数字之和，同时发现乘枫的一部余已经蛤出，即乘赫的一部分数字之和已经給出，我们可以采用弃九逡原理的倒掴来构造出鹿三桂數"阖为这是一牛一定正确的算式、所以一定可洪满足弃扎洙的彖件*两金三检数除说9的余就分别为2和乩所必等式一边除以9的余数为3,那么口32仍除汉9的余敘也魁越为3, □只能是2.将23205今解质因数发现23205 = 7> I3K)5X17 = I 19 ；< 1^5 =1|J5K22I所仪两个三位數是119和］巧，那么两牛三位数的农是314【寡議】314「巩固j g 2OO52006的备位数字2和为山，A的各位救字2祁为甘,目的各也数字王和为匸，匸的各位数字之和为D ”那么D-［考点】弃九法【堆度】3星【堰型】填空【解析】由于一个數除以9时余敷与它啊各住起字之和除以9的余数相同，所kX 200$-°0i A . S . C .D臨叹9都同余，而2005除以9啊余數为儿刚2皿5沖齡滋9婀余数与7沖除以9的余數相U同，而尸=3轻齡以9的余数为1,所PX7IWfi-7i>Wi*J -(7J) 乂护齡以9的余数为宁除事9的余数，即为4”另一方面，由-t20052QOfi<l00005M6 - It?024n所以鸿加汕“的位敷不超过$024住，那么它妁各位软字之和不^i±9*an24 - 7221ft)即A < 72216 ；那么A的各住歎字之和E € 9 x ,=斗5 , R的各住數字之和c c 9*2 = is c小于用且除应9的余数为4”那么c为4或13, c的各位數字之和为4,即D = 4.【签案】4「例叮对任意的自然数町证明^-290^-«01"-464" +261" 被厨97靈除.【考点】余敷性质的综律运用【难度】3星【题型】解答I解析】略(^<11K97 - 7 x 27 L T7 与 271 互质，因为2903 = 5(mod 7) , S03 = 5(mod 7} , 464 =2<mnd7) ’ 261 = 2(mod7), 所以，A- 2901 - - 4血+ 2(； 1^ "5- "5- '2+ T. Q(tna t建* 能被？整除.龙因为2903- 193(m&d 2Z,UU3 - 2til(mcd27l) T464 - 1^3(mod 271) 所卜乂A =2903" -803" -464" + 261" = 193' -26P 一1 勺扩+ 261" = n(mod27l> + 故N 能被271 整除+ 因为7 与271互盛，所限4能敎1S97蹩除.「巩雷】若〜为自然数，证明10(-^-^).【考点】余敷性质的舞合运用【难度】3星【題型】解答【艸折】略［答案】10=26由于严'与丿^的奇偶性相同*所加*沁-严1严”-严—严岳輻-1卄如果口能试号整除，那么却評「严-I）;如果□不能破5整跖那么口被5齡的余敷为1*2* 3 取者4, J械5徐的余数为T、2\屮、4*^5除的余數，即为I、16. KI. 2殆被5徐的余歎，帀这四个数除以5麹余I,所琪不管“为多少，十被5除的余數为I,而汁-（/V ,即14个J 相花所点严除事5均余I’则汁-|能被5楚除，有纽严W-］）.所知由于2与5互盾，所以］（I卜泗「例万在3X3的方林表中已如右图填入了9个战数，将表中同一荷或同一列的3个数加上相同的自然数祢为一次操作.问：你能通过护干决操柞便得去屮9个数都变为相同的数吗？为什么？【君点】运用同余进疔诰证【雉度】？星【題型】解基I *m略【答案】因为表中9个展数之命恰为100,被3除余4经过每_次摊作，恵奔增办^的信歎，所以表中9 牛数之农除淇3恿是余1.如疑表中9个数变为相等.那么9个数的总粗应能被3整除，進就菇出矛盾！所以，无论经过多少决操作.表中的數都不会变为9个相同螂數.「巩固r 一个二位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等「它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的二:位数屮疑大数是多少，最小数是多少？【孝点】运用同余进行论证E难度】4星【題型】孵客【关储词】2008年，仁华学校【解祈】设進枱三位敷为「它除以门和】9的商分别为口和b，余■数分别为m和Fl ,刖“"刑•毗密 . 根拥■題意可知a + m ~ b + n ,所以『—（门亠耐）・用_（方+町，即］6a = I ,得Ka =学占.所収u 11^_ 9甘1的倍數，“是8的梧數.此时*由fl + m = b + n^I ri-m = a- h- a- —a = —a由于F为三位數*9 9龜那为100,最丸为 999，所我100「九* 瑜M ’而i^m ^.16 ,所+ J i I7ii + Jn £*>9V >I00£ 17a£ I7o+ 16 ,得到5 i a S 5H+而a足9的倍虬所说口最小曲9、最丸为54*当fl = 54 时、n - m丄穴=1而4 £ IK T所m i 12 >故此叶上盘丸为I 7小4 - L龙=时C；当0=9时、9n-m=丄~=1 ,由于m I ,所以此时£最小为|? K9 + 1 = 154 +所哄这科的三位觌中最.丸的是93D, 9和卜的是154.【答案】厩丸的是930，鼠小的是154I例JO]从4 2P 3,……，起中-flHZ57个数，便这57个数懸育两牛数的差为则起的癡大值为多少?【考点】运周同余进籽论证【难度】4星【題型】解答【芜犍词】20｛用年，西城实脸【解析】皴口除的同余序列当中.知余I的同余序列"k 14. 27. 40. 53. 66....... ,其申只要取5勺两牛相邻的*这两个数的基为口；如耗没有两年相邻的数，创泼有阿个數的差为13,不同的同余序列当屮不可能有两个數的基为1凳对于世蹇一条起2 工的序列，郝聂多能取一「□令数，使2 稈取出的数中没冇两个数的菱为13.即从第】个数起隔I个取1个.基于淇上，龍个毀裁藏口个序列，毎帚序列的鼠度劲「上】战「上】+】，两牛长度菱为1的序列*'J3 J |_13 J要俊取出的独中没有两个数的圣为13.能髒被取得的数的个數之噩也不会趙逹I.所以为梗57伞数中任意两个数的差榔不筝于13,则这57个数秋令配在□幹序列申，在毎条序列被令配的數的个鬟基不会超过1,那么口牛序列有8个序列脅酣了 4个歎* 5 b序列爵配了5个敷，則这13 牛序列中甘个长度为出5个唸度労虫那么当烈最小为时，可以取出57个數* 其中忏两牛數的翟不为口，所罠要使任取賓个数泌疔两牛数的昱为13,那么n的硅大值为108,【答集】I0S「巩囹『设加■是质数，证明：宀2X…，/被戈”1除所得的余数各不相同.[<AJ it用同余进荷论证【離度】5星【题型】解當【解析】略【答嬪】嘏设有两伞数d、b t H),它也的平予J、八被2“+1除余数■相同.那么*由同余■定理持 J -占‘, flp (a-*>(a + fr)=0(motl<2M+ l))t由于加 + L 是履數’所哄an- b= 0(mod(2n + 1))或 a — b = 0(mod(2n + 1" + 由于b + b，屈一b 均'卜于2J»+ L 且大于 0*可知,屈+ 血与2闪-1互质* @-於也芍对-L互质*即©7, ©-力舞不能枝茁+ 1整緒，产生矛曆」所以假役不成立，原題捋证“课堂检测【随练1】用某口然数”去^1992 ,得到商足46「余数足… 求”利一【考点】除法公式的应用【離度J 2< 【题型】解答【关復词】第五届'小数扌艮，決赛【解析I因为1992是轉的4$倍还多F・得列店船宁壮=轻.14 4 ^=4 x + ，所tX fl= 4 3 , r = ]4 .【答集J o =43 t r =14【随练Z】号码分别为I01426J73J93的4个运动员遊行片反球比赛’规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数邠么打球盘数赧多的运动员打『多少盘？【哮点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答I解析】本题可決体现出加法余就定理的巧州.计算101, 126,门3・193除拟3的余数令别为2, 6 2,L那么任強两名运动员的比雾盘數只需要用占0,2> I两两相加徐以3即可.显赭1笳違动员打自盘是最多怖.UMU 5〔随练3】将I3579I1J3I5I7I92I……依次写到第2013牛数字，组成一个20 □位数，那么此数除以9的余数是________ ，【耆点】弃丸法【难度】"星【题型】境空【解析】本题第一步是要求出第20」3个數字是什乩再时数字求和IT抉有5个就字，11-99共有45 金斓位数，共有數字：4弘2・帕(<),101 -yy?>共450夺三位融，共有数字:450x3 - 1350 (4)竹1加1〜的的典450□卒三li数，共有敷字：4500x4 = 1K0U0 (个)，所法數连续宵丫不会写到9999*从HKH开姑是4位数*每四个数字表示一个數，(2013-5-90^1350) + 4 = 142 t即有】42牛四位数，从1001开始的第142个四位联是12狛.I+3+5+7+卄“一+L2S]+12S3= ( I+J2S3) x642^-2=412164+4+1+2+1+6+4= J B,除以9 余 Ik【尊衆】0家庭作业〔柞业1】写出全部除109后余数为4的两位数.【丰点】除法公式的应用【華度】2< 【题愛】解答【損犍词】美国悅島，小学數学竞寮，第五届【解析】]0»^4-105-3«5«7,因此，这样妁两位数是：15； 35；21.【容案】两便數是：15； 35; 21【柞业2】幼儿园的老聊给班里的小朋友送来4A只桔子「200块讲干.12。