二、直流电机模型的的建立
三、两自由度机器人单关节控制系统建模
四、控制系统的仿真分析 五、MATLAB介绍
14
希望求出负载转角θ与电动机的电枢 电压u之间的控制模型传递函数
在控制系统中广泛采用电机控制的直流伺服电 动机作为执行机构，控制被控对象的机械运动如 图所示：
15
建立系统模型步骤
系统最基本的数学模型是它的微分方程 式，步骤如下：
iK K C LBeff ) s RBeff K C K b ]
38
(a)图开环传函及其简化
电动机的电感L一般很小(10mH左右)，所以可以略去 式中的电感L，结果是：
s ( s)
E ( s) s[ LJ eff s 2 ( RJ eff iK K C LBeff ) s RBeff K C K b ]
Ti ( s) ( J i s 2 Bi s) s ( s)
• 又因为
m ( s) s ( s) / i
及
Tm ( s) K C
U( s) K b s m ( s) Ls R
(3 - 2' )
KC U ( s ) s[ J eff Ls 2 ( J eff R Beff L) s Beff R K C K b ] • 可导出：
33
1 模 型 的 建 立
• 电枢绕组电压平衡方程为： • 电机输出转矩与电枢电流关 系式为: • 对上述两式作拉氏变换，并 整理得：
U K b d m / dt LdI / dt RI
Tm K C I ( N m)
U( s) K b s m ( s) Tm ( s) K C Ls R
m s s .u a s
23
由此可以得到直流电机的控制模型， 即传递函数为：
m s
Cm u a s s La J m s 2 ( La f m J m Ra ) s Ra f m k b C m


24
一般来说，电枢绕组电感La很小，可以 忽略不计，从而可以进一步将直流电动机传 递函数简化为：
41
1）刚体的转动惯量(续)
由于两自由度机器人系统结构的规则 性，因此对电机轴1转动惯量的折算是通 过公式计算出来的。
42
2）粘性摩擦系数
m s
Cm ua s sRa J m s Ra f m kbCm
25
由上式（6），我们可以进一步简化得到：
m s
km ua s sTm s 1
Km Cm Ra f m k b C m
m
式中： 称为电动机传递系数 J R T （弧度/秒.伏）， R f k C 称为电动机时间 常数
M m C m ia
式中Mm为电磁转矩（牛.米），ia为电枢电流（安） Cm为力矩系数（牛.米/安）
19
（2）电磁转矩用以驱动负载并克服摩擦力矩，假定只考虑 与速度成比例的粘性摩擦，则直流电动机转矩平衡方程为
Mm d 2 m d m Jm fm dt dt 2
2
式中：J m为电动机轴上的总转动惯量 牛.米.秒 （包括转子及负 载的转动惯量）
数学模型是系统动态特性的数学描述。
由于在过渡过程中，系统中的各变量要随时间而 变化，因而在描述系统动态特性的数学模型中不仅 会出现这些变量本身，而且也包含这些变量的各阶 导数，所以系统的动态特性方程式就是微分方程式， 它是表示系统数学模型的最基本的形式。
5
• 定义：控制系统的数学模型是描述系统内 部各物理量（或变量）之间关系的数学表 达式。 • 在静态条件下（即变量的各阶导数为零） 描述个变量之间的关系的数学方程，称为 静态模型 • 在动态过程中，各变量之间的关系用微分 方程和描述，称为动态模型
s ( s)
iK K C E ( s ) s( RJ eff s RBeff K C K b )
39
机器人单关节控制系统框图说明 (a)图闭环传递函数
s ( s) s / E iK K C d ( s ) 1 s / E RJ eff s 2 ( RBeff K C K b ) s iK K C
40
2.参数的确定
• 常规参数的确定
1）刚体的转动惯量 转动惯量 J mi ri2 或 J r dm 是物体转动惯性大小的量 度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个 因素来决定.
2
J1
1 Ml 2 12
J2
1 2 Ml 3
J3
7 Ml 2 48
J mR 2 mR 2 2mR 2
17
4 .牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或直线匀速运动状 态直到外力迫使它改变运动状态为止
5.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于质量和加速度的乘积 6.牛顿第三定律 两个相互作用的物体之间的作用力与反作用 力大小相等方向相反并且在一条直线上，分别作 用于不同的物体
18
（1）众所周知，电枢控制的直流电机；其激励绕组 电流不变，仅改变加于电枢的电压Ua，以控制直流电动机 的运动形式。即电枢电流和磁场相互作用而产生电磁转矩。 一般电磁转矩与电枢电流成正比，即：
s ( s)
E ( s)

s[ LJ eff s 2 ( RJ eff
iK K C LBeff ) s RBeff K C K b ]
37
1、模型的建立
• 控制器的函数结构框图如图 (a)所示．其开 环传递函数为：
s ( s)
E ( s)

s[ LJ eff s 2 ( RJ eff
6
建模方法： • 一是分析法，从物理或化学规律出发，建 立数学模型并试验验证；
• 二是实验法，对系统或者元件加入一定形 式的输入信号，用求取系统或元件的输出 响应的方法，建立数学模型。
7
2. 数学模型的种类
• 数学模型分为： 时域模型 复数域模型 频率域模型 时域模型: 包括微分方程、差分方程和状态方程； 优点：在时间域中对控制系统进行描述，具有直 观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全 部信息。 缺点：计算复杂，难于找出系统的结构参数对控 制系统性能影响的一般规律，不便于对系统的分析 和设计。
21
（4）根据克希霍夫定律，电枢绕组中的电势平 衡方程为
dia u a ia Ra La Eb dt
（4）
如图所示，式中。La和Ra分别为电枢绕组的电 感（亨）和电阻（欧）
22
为了求出负载转角 m与电动机的电枢电压u之 间的控制模型，即传递函数。

我们假设在零初始条件下分别对上述各式进 行拉氏变换（1）（2）（3）（4） 消去电枢电流ia，然后取电枢电压Ua为输入量， m 电动机轴的角位移 为输出量，即
8
数学模型的种类
复数域模型: 包括系统传递函数和结构图。 表示系统本身的特性而与输入信号无关；不仅 可以表征系统的动态性能,而且可以研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 频率域模型: 主要描述系统的频率特性,具有明确的物理意 义，可用实验的方法来确定.
9
三类常用数学模型
• 时域: 微分方程 • 复数域: 传递函数 • 频率域： 频率特性
m a a m b m
26
如图所示：
直流伺服电动机方框图
27
提
纲
一、控制系统的数学模型
二、直流电机模型的的建立
三、两自由度机器人单关节控制系统建模
四、控制系统的仿真分析 五、MATLAB介绍
28
机器人控制系统建模概述
• 机器人为串联连杆式机械手，其动态性能具有高 度的非线性，因为机械零件可能因承受负载而弯曲， 关节可能具有弹性以及机械摩擦等等，所以在实际上 不可能建立起准确的数学模型。 • 一般采用近似模型，提出下列两个假设： 1) 机器人的各段是理想刚体，因而所有关节都是 理想的，不存在摩擦和间隙。 2）相邻两杆间只有一个自由度，是旋转的。
机电控制工程Ⅱ
北京航空航天大学 机器人研究所
2008年9月22日
机电系统 机械 传感 驱动 控制
控制系统
控制理论
机电系统建模 与仿真分析
3
提
纲
一、控制系统的数学模型
二、直流电机模型的的建立
三、两自由度机器人单关节控制系统建模
四、控制系统的仿真分析 五、MATLAB介绍
4
机电控制系统建模思路
1．数学模型
(3 - 2' )
34
1、模型的建立
• 驱动轴的转矩平衡方程为：
•
• • •
Tm ( J a J m )d 2 m / d 2t Bm dm / dt iTi
J m ——关节部分在谐波齿轮驱动侧的转动惯量； Bm —— 驱动侧的阻尼系数； Ti ——负载侧的总转矩．
• 式中：J a ——电动机转子转动惯量；
s m ( s ) m ( s ) KC U (s) U (s) J eff Ls 2 ( J eff R Beff L) s Beff R K C K b
• 为了构成对负载轴的角位移控制器，必须进行负载轴 的角位移反馈，即用某一时刻所需要的角位移θd与实 际角位移θs之差所产生的电压来控制该系统．可以求 取位置误差，误差电压是： U (t ) K ( d s ) U ( s) K [ d ( s) s ( s)]
• 负载轴的转矩平衡方程为：
Ti J i d 2 s / dt 2 Bi d s / dt
• 式中 J i——负载轴的总转动惯量； • s——负载轴的角位移； • Bi ——负载轴的阻尼系数．
35
1、模型的建立
• 将上述两式作拉氏变换，得： Tm ( s) ( J a J m ) s 2 m ( s) Bm s m ( s) iTi ） （s