11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．理解三角形的概念，认识三角形的顶点、边、角，会数三角形的个数．(重点) 2．能利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形．(重点) 3．三角形在实际生活中的应用．(难点)
一、情境导入 出示金字塔、战机、大桥等图片，让学生感受生活中的三角形，体会生活中处处有数学． 教师利用多媒体演示三角形的形成过程，让学生观察． 问：你能不能给三角形下一个完整的定义？
二、合作探究
探究点一：三角形的概念
图中的锐角三角形有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：(1)以A 为顶点的锐角三角形有△ABC 、△ADC 共2个；(2)以E 为顶点的锐角三角形有△EDC 共1个．所以图中锐角三角形的个数有2＋1＝3(个)．故选B.
方法总结：数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果一条线段上有n 个点，那么就有
n （n －1）
2
条线段，也可以与线段外的一点组成
n （n －1）
2
个三角形．
探究点二：三角形的三边关系
【类型一】判定三条线段能否组成三角形
以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A．2cm，3cm，5cm
B．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cm
D．3cm，4cm，9cm
解析：选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.
方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．
【类型二】判断三角形边的取值范围
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.
方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．
【类型三】等腰三角形的三边关系
已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．
解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．
解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.
方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．
【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合
若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.
方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．
三、板书设计
三角形的边
1．三角形的概念：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．
2．三角形的三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．
第2课时含30°角的直角三角形的性质
1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)
2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)
一、情境导入
问题：
1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、合作探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，
则AB的长度是( )
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选
D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD
等于( )
A ．3
B ．2
C ．1.5
D ．1
解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝1
2
×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，
PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻
找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好
是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到
CD ＝12
DB .
解：CD ＝1
2DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，
∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝1
2∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD
＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝1
2
DB .
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如
果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。