需数学在量子化学中的应用
2010年入学，从大二选择专业、开始专业课程学习至今差不多已经有一年了。

回顾这一年的专业学习，印象最深也让人觉得最为神奇的莫过于数学与化学的紧密联系。

小到实验数据的处理，大到经典公式推导，数学无不起着极其重要的作用。

为了缩小论述范围，我主要谈一谈数学在量子化学中的应用。

量子化学经常被称作结构化学，谈起结构化学，首先想到的便是分子结构：正四面体的甲烷分子，直线型二氧化碳分子，正八面体的六氟化硫，还有非常神奇的C60足球烯……可以发现这些分子都具有一定的对称性的：轴对称、面对称以及中心对称。

首先我们定义：
（1）如果将图形中每一点绕某一轴线旋转一定的角度α后图形复原，那么称此轴为C n 轴，n 代表旋转360°后复原次数。

（2）将图形式中每一点移动到某一平面相反方向并与此平面等距离处（即做镜面对称）的操作称为反映，记为σ。

（3）将图形中每一点移动到某点相反方向等距离处（即做中心对称）的操作称为反演，记为i 。

联系数学中的矩阵思想，我们可以这样设想：将一个分子置于空间直角坐标系中，并使分子的质量中心与原点重合，分子中的每个原子都有自己的坐标，这样上述操作便可以以成原坐标乘一个矩阵实现。

上述三个操作便可以转化为：
上述单个操作对有的分子无法复原，这时我们可以把不同操作联合起来，如下图的分子，无论是旋转还是反演都无法复原，我们可以先旋转一次，再进行反演。

反映在矩阵上此次操作便表示为两矩阵相乘：iC 4。

因此，用不同的操作相乘我们便可以得到一系列乘法表。

让我们以水分子为例。

可以看见水分子为V 型分子，因此有一个C 2轴，有两个σ轴。

我们再定义单位矩阵为E ，则可得水分子的乘法表：
将H 2O 所具有的对称操作的集合称为一个群，我们可以很容易的得出一个群的性质：
（1） 集合中任意两个元素的积，必为集合中的某一元素。

（2） 集合G 中的各元素之间的运算满足乘法结合律，即三个元素相乘其结果和乘的
顺序无关，即乘法结合律:(AB)C=A(BC)。

（3） 有单位元素：集合G 中有一元素E ，称为单位元素，它使群中任一元素满足:
ER=RE=R 。

（4） 有逆元素：集合G 中任一元素R 均有其逆元素，并且E R R RR ==--11。

仔细观察，这不就是线性代数中线性空间的定义么！从这里我们找到了抽象的线性空间在实际中的真实含义。

类比水分子，SO 2分子等等的V 型分子都具有相同的操作群。

我们将具有相同操作群的分子划归为一类，如以水分子为代表的C 2v 群，每个群里所有的分子都有相同的对称性。

这样，我们便可以将繁杂的分子抽象为不同的数学模型，并进一步研究其分子偶极矩，色散力及旋光性。

在化学的发展历史当中，数学常常起着关键的作用。

许多化学现象及规律在人们明了其原理之前，便已经有数学家总结规律并给出正确公式了。

这些公式建立在大量实验数据基础上，数学家从繁杂的实验数据中总结规律并给予前瞻性的建议，以此为方向化学家进行研究，往往能得出与实验结果符合良好的理论。

十九世纪八十年代，当众科学家纷纷试图钻研氢原子光谱的规律时，这规律却被当时一位还是数学教师的巴尔末解了出来。

通过仅仅四条实验数据，他推出了氢原子光谱可见光范围内的规律，得到了巴尔末公式。

巴尔末公式计算出的波长与实际测量值的误差不超过波长的1/40000，吻合得非常好。

随后巴尔末又继续推算出当时已发现的氢原子全部14条谱线的波长，结果和实验值完全符合。

最终里德堡通过巴尔末公式的形式推导出了更普适的氢原子光谱公式，与各个光谱系的实验结果符合的很好。

在一个新的理论建立的过程中，数学更常起的是验证的作用。

即建立理论模型，通过数学演算得到一个结果，与实验结果相对照以证明其正确性。

在这方面有一个典型的例子：薛定谔方程推测分子的吸收光谱。

薛定谔方程来源于波函数的驻波方程。

虽然它被定义为物理方程，但在推导过程中应用了许多数学知识，如拉普拉斯变换、复合链式求导法则、欧拉方程、线性叠加思想等等。

下为三维粒子的薛定谔方程：
以花菁染料为例，已知花菁分子式与分子长度L，r个烯基（吸收基团），2r+4个π电子。

通过一维薛定谔方程求解E——即粒子能量（在这里需构建一维无限深势阱模型），然后通过求出频率，继而求出波长。

波长
（）
实际求解过程较为复杂，因此这里只列出大概思路。

理论计算结果与试验所测结果符合的很好，也验证了薛定谔方程与一维无限深势阱模型的正确性。

综上，我们大约可以得出这样两个结论：如果没有数学的发展，那么以上的一切结论都无从得出。

很难以想象，如果没有三角函数，没有虚数，没有微积分，没有笛卡尔坐标，现在的世界会是什么样子。

不了解分子结构也不了解原子结构，无从谈起2000万橡胶塑料等有机物的合成，无从谈起光电传感器，无从谈起火箭卫星，无从谈起医疗设备、抗癌药物。

我们的世界之所以是现在这个样子，与许许多多数学伟人的贡献是分不开的。

然而从另一个方面看，化学物理等等学科的发展，更推动了数学的发展。

科学家们总是在实际应用中遇到困难，转而建立数学模型继而解决问题。

数理化不分家，学到了最后钻研到了最后，往往分不清自己在研究什么——大一上课是一位老教授这么说过——也许这就是所谓的自然科学。

参考资料
[1] 徐光宪，王祥云.【物质结构】科学出版社
[2] ，.【量子力学】
[3] 蔡燧林.【常微分方程】浙江大学出版社
[4] ，.【微积分】
[5] 吴泽华.【大学物理】浙江大学出版社
[6] 百度图片。