第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
130
§3-6 常用积分公式表·例题和点评
⑴
d k x kx c =+⎰ (k 为常数)
⑵1
1
d (1)1
x x x c μ
μμμ+≠-=++⎰ 特别，2
11
d x c x x =-+⎰,
32
23x x c =+⎰,
x c = ⑶
1d ln ||x x c x =+⎰
⑷d ln x
x
a
a x c a
=
+⎰, 特别，e d e x x
x c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰
⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺
2
2
1d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰
⑻
2
2
1d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰
⑼arcsin (0)x x c a a
=+>⎰,
特别，arcsin x x c =+ ⑽
2211d arctan (0)x x c a a a a x =+>+⎰,特别，2
1
d arctan 1x x c
x =++⎰
⑾
22
11d ln (0)2a x
x c a a a x a x +=+>--⎰
或
22
11d ln (0)2x a
x c a a x a x a -=+>+-⎰
⑿
tan d ln cos x x x c =-+⎰ ⒀cot d ln sin x x x c =+⎰
⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c
x x x x
c x ⎧-+⎪=
=⎨+⎪⎩
⎰⎰
⒂πln sec tan 1sec d d ln tan cos 24x x c
x x x x c x ⎧++⎪
=
=⎛⎫
⎨++ ⎪⎪
⎝⎭⎩
⎰⎰
§3-6 常用积分公式·例题和点评
131
⒃(0)
a x >==
⎰ln x c ++
⒄2(0)
arcsin 2a a x x c a >==+⎰
⒅
x
⎰2(ln 2
a a x c >==++
⒆22
22sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax
ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩
⎰
⎰
⒇
12222212
123d ()2(1)()2(1)n
n n n x n x c a x n a a x n a I I ---==+++-+-⎰
（递推公式） 跟我做练习
(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24
⑴
2)x x =
-[套用公式⒅]
1
ln (2)2
x =
-+
⑵[
1
(24)42
x x x =
-+⎰⎰
2145)2
2
x x x =
-++
=(请你写出答案)
⑶
2)x x =
-
ln (2)x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]
⑷
1
2x x =
2122x =
+
=(请你写出答案)
⑸
2)x x =
-
232arcsin
23x -=[套用公式⒄]
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
132
⑹[
1(42)42
x x x =
---⎰
⎰
214)2
2
x x x =-
+-+
=(请你写出答案)
⑺
=
=[套用公式⑼]2
arcsin
3x -=
⑻
(42)4d 12
x x
--=
-
212
2
=+-
=(请你写出答案)
例25 求原函数4
1
d 1x x +⎰
. 解 因为
)21)(21()2()1(2)21(1222222424x x x x x x x x x x +-++=-+=-++=+
所以令
411x ++为待定常数）D C B A ,,,(
=
从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+=+++-=++-=+（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1C A D C B A D C B A D B
解这个方程组(在草纸上做)，得21,2
21,21,221
=-==
=
D C B A . 因此， 4
1
d 1x x +
⎰
x x =+
右端的第一个积分为
§3-6 常用积分公式·例题和点评133
1
4
x x x
=+
2
22
11
d
4
x
x
+
⎛
++
⎝⎭
⎰(套用积分公式
)
21)1)
x++
类似地，右端的第二个积分为
21)1)
x x
=-+-
⎰
所以
4
1
d
1
x
x
+
⎰1)1)
+-
2
2
1x
=
-
（见下注）
【注】根据
tan tan
tan()
1tan tan
αβ
αβ
αβ
+
+=
-⋅
,则
22 tan1)1)
2(1)1
x x ⎡⎤
++-===⎣⎦--
因此
,
2
1)1)arctan
1x
++-=
-
例26 求
d
(01)
1cos
x
x
ε
ε
<<
-
⎰. [关于d(01)
1cos
x
x
ε
ε
<<
+
⎰，见例17]
解令tan
2
x
t=(半角替换)，则
222
22
22
cos cos sin2cos111
222sec1tan
22
x x x
x
x x
=-=-=-=-
+
2
2
1
1
t
t
-
=
+
2
2
d d(2arctan)d
1
x t t
t
==
+
于是，
222
2
d12d
d2
1
1cos1(1)(1)
1
1
x t
t
t
x t t
t
εεε
ε
==
-
-+-++
-
+
⎰⎰⎰2
2d
1
1
1
t
t
ε
ε
ε
=
-
++
+
⎰
第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法
134
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
()()
()lim
h y x h y x y x h
→+-'= 或d ()d y y x x '=
确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如
2
1
e sin e
d ,
d ,d ,d ln x
x x
x x x x x
x
x
-⎰
⎰
⎰
⎰
等 都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。