第十二章全等三角形 2018.9 杨1. 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.对应 边相等。
2. 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.对应 角相等。
证明三角形全等基本思路：C1J ■已知两■■叫 16夹角 〔和巫)L 找是否有宜常(BL)三角形全等的判定(1)三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或 SSS1. 如图，A 吐 AD, CB= CD 求证：(1) △ABZ A ADC (2) / B =/ D. 证明：⑴连接AC,在厶ABC 与△ ADC 中,•••△ ABC^A ADC(SSS)(2) ABC^A ADC 「•/ B =/ D.2. 已知在四边形 ABCD 中, AB 二CD,AD 二BC,求证 AD//BC做辅助线，连接AC,利用SSS 证明全 得到/ DAC W ACB ，从而证明平行 三角形全等的判定(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等SAS ).两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等1. 如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A , B, D 三点共线，AB= CB,EB= DB,Z ABC=Z EBD= 90° )，连接AE, CD,试确定 AE 与CD 的关系，并证 明你的结论. (2) :已知一边一ft* 等,(可以简写成“边角边”或己知一边和它的 找这边的另一"角(汴)找这个充的另—Mfii 邑竺(AAS 1)t£—ft t己*n 角是宜角.a —atrHL)©)：已知两角找两儒的夹边〔启SA 〉 找夹边外的任意边(=证明：延长 AE 交CD 于尸，在厶ABE 与厶CBD 中A 吐CB/ AB 氐/ CBD ,BE = BD,Q 秸 •••△ ABEm CBD SAS ，二 AE= CD / EAB=Z DCB•••/ DCB^Z CD * 90°, A / EAB^Z CD * 90°, •••/ AFD= 90°,A AE1CD.2. 在厶 ABC^H ^ CDE 中，CA=CB,CD=CE,ACB=Z DCE=90 , AE 与 BD 交与点 F(1) 求证：△ ACE^A BCD(2) 求证：AE1 BDD 1,利用SAS 证明全等，AC=BC DC=EC Z BCD Z ACE2,全等得到角相等 Z CAE Z DCBZ CAB+Z EAB+Z ABC=90Z DCB/ EAB+Z ABC=90两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等, 简称角边角或ASA两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或 AAS求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.如图，ABC 的中线，且 CF 丄AD 于点F , BE !AD,交AD 的延长线于点 E,求 证：BE= CF.证法1：••• ABC 的中线，A BD *CD.v BE!AD , CF !AD,•••/ BED=Z CFD= 90° .在厶 BED 与△ CFD 中Z BED=Z CFDZ BDE=Z CDFBD * CD•••△ BED^A CFD AAS , A BE= CF..• S △ ABD * E S ^ ACD =且S A ABD * S A ACd (等底同高的两个三角形面积相等 ),A 2AD- BE= 2AD- CE A BE * CF. 三角形全等的判定(4)斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边” 或“ HL ”.如图，E , F 分别为线段 AC 上的两点，且 DEL AC 于点E, BF ! AC 于点F ,若AB* CD AE= CE BD 交 AC 于点 M.求证：BM * DM ME= MF.解：结论：AE = CD AE! CD.三角形全等的判定⑶证法2：VS证明：••• AE^ CE 二AE+ EF= CF+ EF「. AF= CE. AB= CD在Rt△ ABF与Rt △ CDE中AF= CE••• Rt A ABF^Rt△CDE HL ,••• BF= DE.v DEL AC BF丄AC,•••/ DEM kZ BFMk 90°./ BFM kZ DEM在厶BFM与厶DEM中 / BM B/ DMEBF= DE,•••△ BFM^A DEM AAS, ••• BM= DM ME= MF.角的平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.文字命题的证明方法：a. 明确命题中的已知和求证；b. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;c. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.C方法总结：(1)角平分线的性质是证明线段相等的另一途径.(2)在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法.角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线.1. 在厶ABC中，人。
是厶ABC的角平分线，E，F分别是AB, AC上一点，并且有 /EDF^Z EAF= 180° .试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE= DF.证明：过点D作DGL AB于点G,作DH L AC于点C，••• AD >△ ABC 的角平分线，••• DG= DH.•••/ DGA F Z DHA F 90°,A Z GDH-Z BAG 180°,•••/ EDF-Z EAF= 180°,「./ GD出/ EDF•••/ GDH-Z EDH=Z EDF- / EDHGDE=Z FDH./ DG吕Z DHF= 90°,在厶DGE-与^ DHF 中，DG= DHZ GDE=Z HDF•••△ DGE^A DHF ASA,••• DE= DF2. 如图，在△ ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE丄AD于点E ,过点C作CF丄AD交AD的延长线于点F,且BE = CF.求证：AD是厶ABC的中线.利用AAS证明全等/ BDE玄 F/ BDE= CDFBE=CF利用全等证明垂直此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90°,再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是90。
，得到第三个角是90°，进一步证明线的垂直关系。
1. 将两块全等的直角三角形如图1摆放，其中/ DCE N ACB90°ZD=Z A.2. (1)求证:AB 丄DE;3. (2)将图中的ADCE绕点C顺时针旋转45'得到图2,AB.CD交于点N,DE,BC交于M.求证:CM=CN4.5.第一问中延长AB交DE于F，已经知道全等，知道垂直，就可以将/D+Z E=90°转化为/ A+Z E=90得到Z AFE=90 进而证明了垂直第二问中，利用ASA证明相等旋转角度是45°Z MCD Z DCA=45 Z A=Z D CD=CA 得到△ CM^^ CNA(ASA)从而证明CM=CN2.如图，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC二BC,CD二CE,M分别为AE,BD的中点(1) 判断CM与CN的位置关系和数量关系：(2) 若厶CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立？试证明,几何证明中常见的“添辅助线”方法.连结:构造全等三角形或等腰三角形1:如图,AB=AD,BC=DC求ffi: Z B=Z D.1. 连结AC构造全等三角形2. 连结BD构造两个等腰三角形B2: 如图,AB=AE,BC=ED, Z B=Z E,AM1 CD求证：点M是CD 的中点.连结AC AD构造全等三角形3:如图,AB=AC,BD=CD, M N分别是BD CD的中点，求证: Z AM圧Z ANC连结AD构造全等三角形二. 角平分线上点向两边作垂线段：构造直角三角形，得到距离相等C1:如图,△ ABC 中, / C =90o,BC=10,BD=6, AD 平分/ BAC 求点 D 到 AB 的距离.过点D 作DE I AB 构造全等的直角三角形且距离相等 2:如图，△ ABC 中 , / C =90o,AC=BC,AD 平分/ BAC 求证:AB=AC+DC过点D 作DEL AB 构造了全等的直角三角形且距离相等3:如图，梯形中，/ A= / D =90o,BE 、CE 均是角平分线，求证:BC=AB+CD.过点E 作EF L BC 构造全等的直角三角形且距离相等三. 垂直平分线 上点向两端连线段构造直角三角形，得到斜边相等△ ABC 中 ,AB > AC ，/ A 的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D,过 D 作 DE L AB 于 E,作 DF L AC 于 F 。
求证：BE=CF连接DB,DC 垂直平分线上点向两端连线段 四•倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形，得到斜边相等人。
是厶ABC 的中线，求证延长AD 到点E ,使DE=AD连结CE..如图，在△ ABC 中, D 为BC 的中点.⑴求证：AB+ AC>2AD(2)若A 吐5, AO 3,求AD 的取值范围.五•截长补短1. 已知在△ ABC 中, Z C=2/ B, / 仁/2 求证:AB=AC+CD 在AB 上取点E 使得AE=AC 连接DE 在AC 的延长线上取点F 使得CF=CD 连接DF2. 如图所示,已知 AD// BC , Z 仁/ 2, Z 3=/ 4,直线 DC 经过点E 交AD 于点D ,交BC 于点G 求证：AD+BC=AB 在AB 上取点F 使得AF=AD 连接EF3. 如图,在四边形 ABC 冲,A 吐AD , Z BAD= 120° ZB =Z AD G90° .E , F 分别是 BC , CD 上的点,且Z EAF= 60°.FD 之间的数量关系并证明.BE, EF,的转化借助“角平分线性质探究图中线段 六.“周长问题” 如图,△ ABC 中 , / C=90o,AC=BC,A 平分/ ACBQELAB.若 AB=6cm 则△ DBE 的周长是多ABE+BD+DE BE+BD+CDBE+BC BE+ACBE+AE AB七.. “周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”AD+AE+DEBD+CE+DE。