线性系统理论
上机实验报告
题目：两轮平衡小车的建模与控制研究
完成时间：2016-11-29
1.研究背景及意义
现代社会人们活动围已经大大延伸，交通对于每个人都十分重要。

交通工具的选择则是重中之重，是全社会关注的焦点。

随着社会经济的发展，人民生活水平的提高，越来越多的小汽车走进了寻常百姓家。

汽车快捷方便、省时省力，现代化程度高，种类繁多的个性化设计满足了不同人的需求。

但它体积大、重量大、污染大、噪声大、耗油大、技术复杂、使用不便、价格贵、停放困难，效率不高，而且还会造成交通拥堵并带来安全隐患。

相比之下，自行车是一种既经济又实用的交通工具。

中国是自行车大国，短距离出行人们常选择骑自行车。

自行车确实方便，但在使用之前需要先学会骑车，虽然看似简单，平衡能力差的人学起来却很困难，容易摔倒，造成人身伤害。

另外，自行车毕竟不适宜长距离的行驶，遥远的路程会使人感到疲劳。

那么，究竟有没有这样一种交通工具，集两者的优点于一身呢？既能像汽车一样方便快捷又如自行车般经济简洁，而且操作易于掌握，易学又易用。

两轮自平衡车概念就是在这样的背景下提出来的。

借鉴目前国外两轮自平衡车的成功经验，本文提出的研究目标是设计一款新型的、结构简单、成本低的两轮自平衡车，使其能够很好地实现自平衡功能，同时设计结果通过MATLAB进行仿真验证。

2.研究容
自平衡式两轮电动车是一个非线性、强耦合、欠驱动的自不稳定系统，对其控制策略的研究具有重大的理论意义。

我们通过分析两轮平衡车的物理结构以及在平衡瞬间的力学关系，得到两轮车的力学平衡方程，并建立其数学模型。

运用MATLAB和SIMULINK仿真系统的角度θ、角加速度•θ、位移x和速度的•x变化过程，对其利用外部控制器来控制其平衡。

3.系统建模
两轮平衡车的瞬时力平衡分析如图1所示。

下面将分析归纳此时的力平衡方程[1-3]，并逐步建立其数学模型。

对两轮平衡车的右轮进行力学分析，如图2所示。

依据图2对右轮进行受力分析，并建立其平衡方程：
=R R R R M X f H ⋅
- (1)
R R R R J C f R ϕ⋅⋅
=- (2)
同理，对左轮进行受力分析，并建立其平衡方程：
=R L L L M X f H ⋅
- (3)
L L L L J C f R ϕ⋅⋅
=- (4)
两轮平衡车摆杆的受力分析如图3所示，由图3可以得到水平和垂直方向的平衡方程以及转矩方程。

水平方向的平衡方程：
H H x R L p m +=•
• (5)
其中θsin L x x m p +=，则有：
•
••
•••*+*-=θθθθ
cos sin 2
L L x x m
p
(6)
2
x
x x R
L
m +=
(7)
垂直方向的平衡方程：
mg m P P x R L z -+=•
• (8)
其中L L x z -=θcos ，则有：
•
•••*-*-=θθθθsin cos 2
L L x
z
(9)
转矩方程为：
θθθcos )(sin )(L L H H P P J
R L R L p
+-+=•
• (10)
两轮平衡车的转向平衡受力分析如图4所示。

由图4对转向运动分析可得：
2
)(D
H H J R L -=
•
ψψ (11)
D
x
x R
L
-=
ψ (12)
到目前为止，两轮平衡车的所用平衡方程建立完毕。

当θ在︒±5变化时，θθ≈sin ，1cos ≈θ，02
ť
θ，由此可得两轮平衡车的数学模型：
R
mL M C C x R
J R
L
m
+=
++
•
••
•θφ
)22(2
(13)
•
••
•••-=-+x L J
m P
mL mgL m θθθ2 (14)
R
D
D DM C C J R
J R L
-=+
+
•
•ψψφ
)2(2
(15)
由式(13)~(15)可得系统状态方程：
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
+⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤•••
•••••C C b b b b a
a R L x x x x 4241
3231
42
320
000
000000100
00100
θθθθ ⎢⎢⎣⎡⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤+⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤=⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦
⎤••••C C b b R L 2221000010ψψψψ 设
M=0.8kg ，R=0.1m ，L=0.5m ，2
=0.001kg J m
ψ⋅，m=10kg ，
2=0.002kg J m θ⋅，2=0.0034kg p J m ⋅，D=0.5m ，式中A:系统矩阵；B ：输入矩
阵；C ：输出矩阵；D ：直接传递矩阵；u:输入向量；X:状态向量；Y ：输出向量。

即最终两轮平衡车的状态空间方程为：
u x x x x X ⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
+⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤-=
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=•••
••••••919.9-966.40000648.116000603.4801000010
0θθθθ
u
x
x
x
x
Y
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
+
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
=
•
•
•
•
1
1
1
1
θ
θ
θ
θ
系统仿真
适当选取不同的极点，观察不同极点下，系统各变量之间的变化。

在进行极点配置时，分别采用极点配置法和LQR函数法进行反馈，观察系统变量的变化。

由结果可知，LQR函数法相对应与极点配置法具有较小的超调量和较快的响应时间。

设置初始角度为1/3*pi，观察系统变化。

由实验结果可知，当初始状态存在一个倾角时，系统依然能够在相应的时间下达到稳定。

研究结果
两轮平衡车是一种不稳定系统，本文从该系统的平衡瞬间的动力学进行了分析，建立数学模型，并采取适当的反馈控制，将原先的开环控制系统构建为闭环系统，最终使得平衡车系统的位移、角度、速度和加速度这些变量趋于稳定。

并应用MATLAB来对系统性能指标进行分析，用simulink进行仿真。

表明：两轮平衡车能够实现稳定控制和抗干扰性。